10 svar

171 visningar

Sambandet mellan a och b när VA=VB

Hej!

Jag försöker lösa uppgiften "Grafen till funktionen y = x^2
begränsar ett område A tillsammans med linjen x = a (där a > 0) och
x-axeln. Kurvan begränsar också ett område B tillsammans med linjen y = b (där b > 0) och yaxeln. När området A roterar runt x-axeln bildas en rotationskropp med volymen VA, och när
området B roterar runt y-axeln bildas en rotationskropp med volymen VB.
Bestäm vilket samband som råder mellan a och b då VA = VB."

Min beräkning,

Jag började med att rita upp en ungefärlig graf för att vara säker på att det undre gränsvärdet verkligen är 0. Jag skrev in a=1,5 som exempel.

Undre gränsvärde är 0, så jag började därefter att skriva integralen för rotationskroppen A.

VA=0^a∫π(y)^2dx

Jag flyttade ut konstanten π framför integralen och skrev in y=x2 i integralen,

VA=π0^a∫(x^2)^2dx=π0^a∫x^4dx

Sedan beräknade jag den primitiva funktionen av x^4

f(x)=x^5 har enligt reglerna den primitiva funktionen F(x)=x^5/5

Jag skrev in det i integralen,

VA=π0^a∫x^4dx=π[x^5/5]0^a

Därefter satte jag in det övre gränsvärdet in i den primitiva funktionen och subtraherade den med det undre gränsvärdet satt in i den primitiva funktionen och beräknade det,

π[x^5/5]0^a=π((a^5/5)-(0^5/5))=πa^5/5

För att beräkna rotationskroppen volym i rotation runt y-axeln använde jag formeln V=a∫bπ(x)^2dx, men först behövde jag hitta x,

y=x^2

√y=√x^2

x=√y

Jag ritade sedan grafen för x(y)=√y, och ritade y=b som y=1,5 som exempel för att kunna se en tydligare bild av området.

Jag skrev in x=√y i integralen tillsammans med undre gränsvärde 0, och övre gränsvärde b,

VB=0^b∫π(√y)^2dx=0^b∫πy dx

Sedan hittade jag den primitiva funktionen av y,

f(x)=y har enligt reglerna den primitiva funktionen F(x)=y^2/2, Jag skrev in det i integralen och flyttade samtidigt ut konstanten π framför integralen,

VB=π0^b∫y dx=π[y^2/2]0^b

Därefter satte jag in det övre gränsvärdet in i den primitiva funktionen och subtraherade den med det undre gränsvärdet satt in i den primitiva funktionen och beräknade det,

π[y^2/2]0^b=π((b^2/2)-(0^2/2))=πb^2/2

Jag skrev sedan in VA och VB i VA=VB,

πa^5/5=πb^2/2

Sedan förlängde jag båda ledens nämnare med π, för att sedan förkorta båda ledens nämnare och täljare med π,

πa^5/5π=πb^2/2π

a^5/5=b^2/2

Sambandet som rådet mellan a och b när VA=VB är a^5/5=b^2/2

Stämmer det?

Du menar tydligen integrationsgräns när du skriver gränsvärde. (Gränsvärde är något helt annat i matematik - du lärde dig det i Ma3.)

Jag skulle aldrig våga försöka lösa den här uppgiften utan att rita upp de båda rotationskroppar det handlar om - en ful skiss räcker.

Du använder variabeln x på två sätt samtidigt, vilket gör det svårt att hänga med i hur du tänker. Det är bättre att använda en annan variabel som integrationsvariabel, t ex t. Då får du integralen $V A = π \int_{0}^{x} {(t^{2})}^{2} d t = π \int_{0}^{x} t^{4} d t = π {[\frac{t^{5}}{5}]}_{0}^{x}$ . (Det hade gått lika bra att behålla x som integrationsvariabel och sätta den övre integrationsgränsen till a.) Vi får att VA = $\frac{\pi}{5}a^2$ med din notation.

Är det skivmetoden eller skalmetoden du använder för VB? Det ser ut som om du tänker använda skivmetoden, med tanke på att du har integranden x2, och integrationsgränserna från 0 till b, men i så fall borde du ha haft integrationsvariabeln y, inte x.

Oj, det hade jag helt blandat ihop, tack för att du påpekar det! Jag skissade de båda rotationskropparna och fick det till en fulskiss, haha

Jag vet inte om jag har skrivit in det fel här, men jag ska visa hur jag räknade på papper istället så blir det enklare att se.

Jag ser vad du menar med att det blir lite svårt att hänga med, jag kan byta ut x till t i formeln för volymberäkning i VA så att y=x^2 inte blandas ihop med x i formeln.

Jag har inte lärt mig skalmetoden än (vad jag vet haha) så det är skivmetoden jag har använt i VB. Oj, det har jag slarvat med i inlägget! Det ska stå "dy" i VB

Men om jag istället lämnar det som πa^5/5=πb^2/2 är det korrekt samband? eller måste jag snygga till det och förenkla?

Vi skall ta fram vad det finns för samband mellan a och b när VA = VB, d v s vi vill undersöka hur a och b hänger ihop när $\frac{\pi}{5}a^5=\frac{\pi}{2}b^2$ . Kommer du vidare?

EDIT: Hade tappat bort b² i HL.

Jag har svårt att förstå vad "samband" innebär rent generellt i matten. Jag försår att jag kan skriva det som π/5a^5=π/2b^2, men inte hur b^2 försvinner?

Jag tappade bort b². Fixar!

Försök få fram a^nånting/b^{nåntingannat} = konstant.

Jag vet inte alls om det här är rätt, men jag förenklade π/5a^5=π/2b^2.

π/5a^5=π/2b^2

Jag började med att dividera båda leden med π/5,

1a^5=2,5b^2

a^5=2,5b^2/1

a^5=2,5b^2

sedan dividerade jag båda leden med b^2 och fick

a^5/b^2=2,5

Fungerar det?

Jag skulle ha gjort likadant (möjligen i en annan ordning), eller möjligen skulle jag ha skrivit att $a = \sqrt[5]{\frac{5 b^{2}}{2}}$ . Vad står det i facit?

"Samband" är inget formellt begrepp, men det betyder väl ungefär att a och b finns i samma ekvation eller olikhet. Oftast på ett sätt så att de påverkar varandras värde (jag höll på att skriva "så att det finns ett samband mellan deras värden...).

Och då menar jag med sambandet den ekvationen eller olikheten.

Det kan vara så att a och b påverkar varandra (alltså inte kan variera fritt oberoende av varandra) men inte står i samma ekvation eller olikhet, och då finns också ett samband, och då betyder samband inte något uttryckligt skrivet, men det faktum att de inte är oberende.

Så här används nog ordet samband i andra sammanhang också.

Jag ser nu att jag har skrivit lite konstigt, "/1" ska flytta upp en rad. Tyvärr har jag inget facit.

Men visar π/5a^5=π/2b^2 sambandet? Jag förstår att det är snyggare om man förenklar, men är π/5a^5=π/2b^2 därför fel? Eller skuller det också kunna visa sambandet "egentligen"? Jag bara undrar så jag kan förstå lite bättre.

Okej, då har jag en lite bättre förståelse vad "samband" innebär, tack för förklaringen!

Men hur vet jag att jag har hittat det slutgiltiga sambandet? Är det så att jag måste förenkla tills jag får en variabel ensamt i VL? och då ser jag sambandet?

Svara

Visa senaste svar