Samband och mönster i andragradsekvationer

Kan du se något mönster i hur rötterna hänger ihop med koefficient och konstantterm i respektive ekvation?
i) x^2+ 12x – 64 = 0 x1 = 4, x2 = -16
ii) x^2- 2x – 15 = 0 x1 = 5, x2 = -3
iii) x^2+ 8x + 7 = 0 x1 = -1, x2 = -7
iv) x^2– 2x – 8 = 0 x1 = -2, x2 = 4
v) x^2- 7x + 12 = 0 x1 = 3, x2 = 4
Motivera och visa ditt resultat generellt!

Alla ekvationer har jag lagt märke till är av formen x^2+px+q=0 (pq-formeln vid uträkning)

Jag har noterat ett samband mellan de två rötterna för varje ekvation, det är att x2 - x1 = p, men det gäller inte alltid, ex. i ekvation v).

Det finns ett annat samband som dock alltid verkar gälla, x1 * x2 = q.

Utifrån detta vet jag inte riktigt hur jag ska motivera och formulera ett generellt resultat eftersom mitt resultat i sig inte är helt glasklart

Du är nära!

Det stämmer att $x_1\cdot x_2=q$ , men det andra stämmer inte riktigt. Det är faktiskt så att $-x_1-x_2=p$ (eller $x_1+x_2=-p$ ). Då märker du att det stämmer in på alla ekvationer.

För att visa varför detta stämmer kan det vara bra att använda sig av att alla andragradsekvationer kan skrivas som en produkt av deras nollställen:

$k(x-x_1)(x-x_2)$

Eftersom $x^2$ -koefficienten är ett blir $k=1$ , och alltså vet du att alla av dessa ekvationer kan skrivas som:

$(x-x_1)(x-x_2)$

Du är på rätt väg. Betrakta tecknen på rötterna också, så ser du en regel som alltid gäller för p.

Svara