Samband mellan grafen, derivatan och andraderivatan
Följande information om tredjegradsfunktionen f(x)är given.
f'(2)=f'(4)= 0
f''(4) = 0.4
Bestäm derivatans tecken i punkten där x = 5
f'(4) och f'(2) är ju extrempunkter och att f''(4) är positiv betyder väl att det är minimipunkt?
f'(5) som de är ute efter förstår jag inte hur jag ska få fram.
En tredjegradsfunktion sar antingen ut så här: / fast med ett par extra knölar på (om x3-termen är positiv)eller så här: \ (om x3-termen är negativ). Vilket stämmer i ditt fall? Lutar linjen uppåt eller neråt för x = 5?
Den borde ju rimligtvis luta uppåt men det baserar jag ju bara på att x = 4 är en minimipunkt. Betyder det isåfall att x3 är positiv?
En tredjegradsfunktion kan inte ha en derivata med mer än 2 nollställen, Därför kan den inte något nollställe mellan 4 och 5 och kan därför inte växla tecken mellan x=4 och x=5. Eftersom andraderivatan är positiv i 4, måste förstaderivatan växa där. Den blir då positiv och kan som ovan sagts inte växla tecken. Därför är förstaderivatan positiv för x=5.
Hur kan man redovisa det på något snyggt matematiskt sätt?
Är det kanske bättre att skriva en liten textrad som du gjorde?
Det bästa är att skissa grafen.
Som Smaragdalena skrev, principutseendet är antingen / (om koefficienten framför x3-termen är positiv) eller \ (om koefficienten framför x3-termen är negativ).
- Du vet att grafen har en min och en maxpunkt.
- Du vet att grafen har en minpunkt vid x = 4.
Det räcker för att grovt skissa grafens principiella utseende.
Med hjälp av den skissen kan du sedan enkelt formulera en motivering av ditt svar.
Denna tråden visar tydligt hur det kan finnas flera olika metoder för samma problem. Mitt eget upplägg bygger i motsats till övriga inte på något grafritande, utan enbart på matematisk logik, kunskaper om 3:e gradsfunktioner och dess derivator. Huvudsaken är att du får till ett matematiskt resonemang som för till rätt resultat, så för dig är det nu fritt val.
