Samband mellan förändringshastigheter

Hej, jag sitter med en rejäl undran här över ett par svar på en fråga. De ger svaret a) att volymändringen är lika med sfärens area ggr delta r. Men om detta skulle verkligen stämma så om när delta r går mot r så ska volymändringen gå mot formeln för en sfärs volym. Men det stämmer inte i detta fall då vi får en tre ggr för stor volymändring. Så vad menar de egentligen? För jag fick fram denna formel för en sfärs volymändring då r subtraheras med x, och hela volymen subtraheras med den mindre volymen. Frågan följer även med här.

SuperCrazyFlipper skrev:
De ger svaret a) att volymändringen är lika med sfärens area ggr delta r. Men om detta skulle verkligen stämma så om när deltar går mot r så ska volymändringen gå mot formeln för en sfärs volym.

Nej så måste det inte vara. Att $\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$ innebär att en infinitesimal (väldigt liten) förändring av radien r medför en volymförändring som är lika med arean vid det tillfället multiplicerat med förändringen i radien. Det betyder inte att förändringen i volym är lika med $4\pi r^2\cdot\Delta r$ oavsett hur stor $\Delta r$ är.

Jämför en klassisk derivatafunktion: Om f(x) = x² så är f'(x) = 2x, dvs en infinitesimal förändring av x vid just detta x-värde ger en förändring av f(x) som är lika med 2x. Det betyder inte att f(x₁) - f(x₂) = 2(x₁-x₂) oavsett hur långt det är mellan x₁ och x₂.

Jaha så det gäller endast för väldigt små värden på x. Det kan jag förstå, ungefär som att sin(x) går mot x vid små värden på x. Tack för förståelsen, detta var nämligen ett stort frågetecken för mig.

Svara