Samband för tangens

Lisa Mårtensson skrev:

Eftersom $\tan v =\frac{\sin v}{\cos v}$ får vi att 

$\tan (180°-v)=-\tan v$ 

$\tan (-v)=(-\tan v)$ 

Så står det skrivet i den helige skrift (Matematik 4, Sunnesson et al)

Men jag kan inte omedelbart förstå det, utan jag lär mig det bara utantill.

Det är lättare med sambanden för sinus och cosinus för de kan jag förstå utifrån enhetscirkel. Sinus hör ju ihop med y-axeln och cosinus med x-axeln. Jag vet förstås att man räknar ut tangens för en vinkel genom det trigonometriska sambandet för rätvinkliga trianglar så här:

$\tan v=\frac{motstående katet}{närliggande katet}$

Ändå har jag svårt att fatta!

$$\begin{gathered} \tan ( 180-v)=\hspace{0.17em} \frac{\sin (180-v)}{\cos (180-v)} \\ \tan (180-v)= \frac{\sin v}{-\cos v} \\ \tan ( 180-v) = -\tan v \end{gathered}$$

När du befinner dig i den första kvadranten har du ett positivt sinus- och cosinus värde men när du förflyttar dig till den andra kvadranten dvs (180-v) har du ett positivt sinus värde men ett negativt cosinus värde.  

Tack så mycket. Jag ska begrunda detta. Det ser tydligt ut, bra förklarat.

Är det någon mer som vill skriva om detta så är det varmt välkommet.

Använd först enhetscirkeln för att uttrycka

sin(-v)

och

sin(180° - v)

i sin(v).

Gör sedan samma sak för cosinus.

Sambanden för tangens trillar då ut ur definitionen.

Jag tycker att det enklaste sättet att komna ihåg tangens är att det är riktningskoefficienten för den räta linjen genom origo som bildar vinkeln v mot (positiva) x-axeln. Då ser man direkt att tangens är positivt i första och tredje kvadranten (och negativt i andra och fjärde), och att tangens är större än 1 när vinkeln är mellan 45 och 90 grader, exempelvis.

Smaragdalenas förklaring var väldigt bra!  Det var bara det sista jag inte förstod: att tangens är större än 1 när vinkeln är mellan 45 och 90 grader.

Som vanligt: rita! Vinkeln 45 grader motsvarar riktningskoefficienten k = 1. 

Lisa Mårtensson skrev:

Smaragdalenas förklaring var väldigt bra!  Det var bara det sista jag inte förstod: att tangens är större än 1 när vinkeln är mellan 45 och 90 grader.

Så här.

• Lila stråle har en vinkel på 45°. Strålens lutning (tangens för vinkeln) är lika med 1.
• Svart stråle har en vinkel mellan 45° och 90°. Strålens lutning (tangens för vinkeln) är större än 1.

Ja, just det. För tangens är ju riktningskoefficienten. Nu förstår jag helt och hållet!

Tack till båda två.