Samband

De har deriverat leden implicit m.a.p x. Likheten består. 

EDIT: fast de verkar ha deriverat fel. 

Okej, den fullständiga lösningen i svaret ska bli

$2y\left(x\right)\times y´\left(x\right)+y´\left(x\right)+y\left(x\right)+xy´\left(x\right)=0\Rightarrow y´\left(x\right)\left(2y\left(x\right)+1+x\right)=-y\left(x\right)$

Sedan fick dom att $y´\left(x\right)=\frac{-y\left(x\right)}{2y\left(x\right)+1+1},y´\left(0\right)=\frac{-1}{2\times 1+1+0}=-\frac{1}{3}$

Är du då med på att y'(0) = -1/3? 

Hej Goljadkin!

En kvadratkomplettering av sambandet visar att det handlar om en roterad hyperbel.

Ekvationen $y^2+y(1+x) = 2$ är samma sak som ekvationen

    $\displaystyle \frac{1}{2}(y+0.5(1+x))^2 - \frac{1}{8}(1+x)^2 = 1 \Leftrightarrow \xi^2 - \eta^2 = 1\ ,$

där jag definierat nya koordinater

    $\xi = \frac{1}{\sqrt{2}}(y+0.5(1+x))$ och $\eta = \frac{1}{2\sqrt{2}}(1+x)$.

Punkten $(x_0,y_0) = (0,1)$ motsvaras av punkten $(\xi_0,\eta_0) = (\frac{3}{2\sqrt{2}},\frac{1}{2\sqrt{2}})$.

I $\xi\eta$-koordinatsystemet är sambandet $\xi^2 - \eta^2 = 1$ lokalt en hyperbelbåge kring punkten $(\xi_0,\eta_0)$, det vill säga en funktion

    $\eta(\xi) = \sqrt{\xi^2 - 1}.$

Albiki

okej, men jag är inte riktigt med på hur man kommer från $y^2+y\left(1+x\right)=2$ till $2y\left(x\right)\times y\text{'}\left(x\right)+y\text{'}\left(x\right)+y\left(x\right)+xy\text{'}\left(x\right)=0$

Att derivatan av HL m.a.p x = 0 är du säkert med på. 

VL kan du derivera m.a.p x term för term. Termer som explicit innehåller x deriverar du som vanligt. y är däremot inte oberoende av x, så derivatan av y(x) är y'(x). Om y inte står ensam, utan som t.ex y^2, så får du använda kedjeregeln.