Samband

Den första ekvationen är fel. Visa hur du kom fram till den så hjälper vi dig att hitta felet.

f(f(0) =5 

f(0) = m

f(m)=km+m 

f(km+m) = k(km+m)+m 

f(k^2m+km +m) +m

solskenet skrev:

f(f(0) =5 

Nej det är f(f(f(0))) som ska vara lika med 5, dvs tre st "f"

f(0) = m

Ja det stämmer

f(m)=km+m 

Ja det stämmer, men det är bättre om du skriver att f(f(0)) = km+m

 

f(km+m) = k(km+m)+m 

Ja det stämmer, men det är bättre om du skriver att f(f(f(0))) = k(km+m)+m

f(k^2m+km +m) +m

Det här sista vet jag inte vad du menar med.

----------

Men du har nu allt du behöver:

Du vet att f(f(0)) = km+m, vilket tillsammans med villkoret f(f(0)) = 1 ger dig ekvationen

km+m = 1

Du vet att f(f(f(0))) = k(km+m)+m, vilket tillsammans med villkoret f(f(f(0))) = 5 ger dig ekvationen

k(km+m)+m = 5

--------

Tips: Den sista ekvationen kan förenklas eftersom du vet att km+m = 1

För att kapa lite komplexitet kanske det är värt att nämna att själva villkoren kan förenklas. Eftersom f(f(0))=1, så är f( f(f(0)) )=f(1). Det andra villkoret kan alltså skrivas f(1)=5.

Yngve skrev:

solskenet skrev:

f(f(0) =5 

Nej det är f(f(f(0))) som ska vara lika med 5, dvs tre st "f"

f(0) = m

Ja det stämmer

f(m)=km+m 

Ja det stämmer, men det är bättre om du skriver att f(f(0)) = km+m

 

f(km+m) = k(km+m)+m 

Ja det stämmer, men det är bättre om du skriver att f(f(f(0))) = k(km+m)+m

f(k^2m+km +m) +m

Det här sista vet jag inte vad du menar med.

----------

Men du har nu allt du behöver:

Du vet att f(f(0)) = km+m, vilket tillsammans med villkoret f(f(0)) = 1 ger dig ekvationen

km+m = 1

Du vet att f(f(f(0))) = k(km+m)+m, vilket tillsammans med villkoret f(f(f(0))) = 5 ger dig ekvationen

k(km+m)+m = 5

--------

Tips: Den sista ekvationen kan förenklas eftersom du vet att km+m = 1

Klicka här om du inte hittar förenklingen

Du kan alltså ersätta det som står innanför parentesen i uttrycket k(km+m)+m med 1.

f(km+m)+m=5 

f(1) =5-m 

m måste ju vara y värdet när x=0 

y är då 5.  Alltså m=5 

f(1) = 5-5 =0 

f(1)=0

Härifrån kan jag hitta k värdet. 

Mina punkter 

(1,0) (0,5) 

k= (5-0)/(0-1)= 5/-1=-5 

solskenet skrev:

[...]

Alltså m=5 
[...]

k= (5-0)/(0-1)= 5/-1=-5 

Du har kommit fram till att k = -5 och m = 5, dvs f(x) = -5x + 5

Har du kollat om det stämmer med de givna villkoren, dvs stämmer det då att f(f(0)) = 1 och f(f(f(0))) = 5?

Vi kan börja med att dubbel kolla : 

f(f(0)) är samma sak som f(m) 

m är fem. Alltså f(5) = 5x+5 

f(5x+m) =  k(5x+m)+m 

f(5kx+mk)+m =5 .... Här krånglar jag till det. Jag vet inte hur jag ska tänka :(

Fråga 1: Är du med på att de båda villkoren ger dig de två ekvationerna

km+m = 1

och 

k(km+m)+m = 5?

Fråga 2: Är du med på att eftersom första ekvationen säger att km+m = 1 så kan den andra ekvationen skrivas k+m = 5?

nej. Det är bara förvirrande hur jag ska skriva det 

Svarade du nej på fråga 1 eller på fråga 2?

Jag är med på att f(f(0))=f(m)=5 

Men den andra funktionen 

f(f(f(0)) förvirrar mig. Jag förstår inte hur jag ska tänka. Ska det vara f(f(km+m) =1

solskenet skrev:

Jag är med på att f(f(0))=f(m)=5 

Nej det står i uppgiften att f(f(0)) = 1.

Men den andra funktionen 

f(f(f(0)) förvirrar mig. Jag förstår inte hur jag ska tänka. Ska det vara f(f(km+m) =1

Nej f(f(f(0))) är lika med f(km+m) och det ska vara lika med 5.

--------------

Vi börjar från början.

Vilket eller vilka av dessa steg behöver du få en utförligare förklaring av?

1. f(x) = k*x + m
2. Det betyder att f(0) = k*0 + m = m
3. Eftersom f(0) = m så betyder det att f(f(0)) = f(m) = k*m + m
4. I uppgiften är det givet att f(f(0)) = 1, vilket då ger oss Ekvation 1: k*m + m = 1
5. Eftersom f(f(0)) = 1 så betyder det att f(f(f(0))) = f(1) = k*1 + m = k + m
6. I uppgiften är det givet att f(f(f(0))) = 5, vilket då ger oss Ekvation 2: k + m = 5

Jag hänger med på alla steg. Förutom steg 5 och 6 där behöver jag ha en förklaring :)

Du är med på att f(f(0)) = 1.

För att räkna ut f(f(f(0))) sätter vi då in x = f(f(0)) i f(x), och eftersom f(f(0)) = 1 så är f(f(f0))) samma som f(1). Är du med nu?

Nja.. Förstår inte hur ni tänker / ser mönstret av att f(f(f(a)) blir 1. Kan ni förklara stegvist

solskenet skrev:

Nja.. Förstår inte hur ni tänker / ser mönstret av att f(f(f(a)) blir 1. Kan ni förklara stegvist

Antar att du menar hur vi kan veta att f(f(f(0))) = 1. Det står i uppgiftstexten.

solskenet skrev:

Nja.. Förstår inte hur ni tänker / ser mönstret av att f(f(f(a)) blir 1. Kan ni förklara stegvist

Nej så är det inte.

Läs uppgiftslydelsen igen. Där står det att

• f(f(0)) = 1 observera två f (och inget a). Det är alltså inget vi kommer fram till utan det är givet i uppgiften.
• f(f(f(0))) = 5, observera tre f (och inget a). Det är alltså inget vi kommer fram till utan det är givet i uppgiften.

Vi har 2 st samband. Ena sambandet f(f(0)) . f(0)=m . 
f(m)=1

km+m=1

Andra sambandet f(f(f(0)))=5 

f(f(1))=5 Hittills är jag med.  

Ibland är den brutala långa vägen lättare att förstå än de smarta genvägarna. Vi försöker med det här och tar allt från början igen:

---------

Du kan se funktionen f som en maskin som har en ingång och en utgång.

Just den här maskinen gör så att den tar det som kommer in genom ingången, multiplicerar det med en konstant k, adderar sedan en annan konstant m och skickar resultatet till utgången.

Om vi kallar det vi stoppar in för x och det som kommer ut för f(x) så kan vi på mattespråket beskriva just den här maskinen på följande sätt:

f(x) = kx+m

Det betyder att om vi stoppar in

• talet 5 så får vi ut f(5) = k*5+m
• talet -23 så får vi ut f(-23) = k*(-23)+m
• talet a så får vi ut f(a) = k*a+m
• uttrycket 3x+4 så får vi ut f(3x+4) = k*(3x+4)+m
• och så vidare 

Om du hänger med så långt så kan vi gå vidare.

Om vi stoppar in

• uttrycket f(x) så får vi ut f(f(x)) = k*f(x)+m. Men eftersom f(x) = kx+m så blir f(f(x)) = k*(kx+m)+m = k^2x+km+m
• uttrycket f(f(x)) så får vi ut f(f(f(x))) = k*f(f(x))+m. Men eftersom f(f(x)) = k^2x+km+m så får vi att f(f(f(x))) = k*(k^2x+km+m)+m = k^3x+k^2m+km+m

Nu tittar vi på de samband vi känner till

Första sambandet är att f(f(0)) = 1

Eftersom vi har kommit fram till att f(f(x)) = k^2x+km+m så gäller att f(f(0)) = k^2*0+km+m = km+m. Vi vet att detta uttryck har värdet 1, vilket ger oss vår

första ekvation km+m = 1

Andra sambandet är att f(f(f(0))) = 5

Eftersom vi har kommit fram till att f(f(f(x))) = k^3x+k^2m+km+m så gäller att f(f(f(0))) = k^3*0+k^2m+km+m = k^2m+km+m. Vi vet att detta uttryck har värdet 5, vilket ger oss vår

andra ekvation k^2m+km+m = 5

--------

Vi har nu alltså följande två ekvationer för att bestämma de två obekanta storheterna k och m:

Ekv 1: km+m = 1

Ekv 2: k^2m+km+m = 5

Vi kan bryta ut k ur de första termerna i Ekv 2, som då blir:

k(km+m)+m = 5

Enligt Ekv 1 är km+m = 1, vilket vi då kan sätta in i Ekv 2 och vi får då:

k*(1)+m = 5, dvs k+m = 5

Våra två ekvationer lyder då

Ekv 1: km+m = 1

Ekv 2: k+m = 5

Hängde du med hela vägen? Om inte, var tappade jag dig?

Det känns lite krångligt och för mycket tal åt samma gång. Trots det har jag ändå lyckats förstå. (Hoppas jag)  så här blev uträkningen

Jag hänger inte riktigt med i dina tankegångar fram till slutekvationerna, men du har löst dem rätt, sånär som på att du glömde parenteserna precis på slutet:

Det blir alltså två möjliga funktioner $y = k_1x + m_1$ och $y=k_2x+m_2$

Nästa steg bör vara att som vanligt kontrollera dina resultat, dvs kontrollera om dina båda möjliga funktioner stämmer med de angivna villkoren.