Saltlösning som beror på tiden i tank differentialekvation
I en 500liter tank saltlösning finns 50kg salt.
Rent vatten pumpas in med 6l/min, samtidigt som hela lösningen pumpas ut med 6l/min i botten av tanken.
Situationen beskrivs:
där s(t) är mängden salt i vattnet (kg) vid tiden t efter att rent vatten pumpas ut.
uppg:
a, ange lämpligt begynnelsevillkor
b, Förklara hur man kommit fram till HL
c, anta istället att en annan saltlösning med koncentrationen 0,015kg salt pumpas in/liter. hastigheten v = 6l/min. All lösning pumpas ut 4l/min i botten på samma sätt som i a, och b,. Detta ska ställas upp som differentialekvation.
d, Med hjälp av digitala hjälpmedel har två personen bestämt lösningen till differentialekvationen i c-uppgiften och fått:
där s(t) är mängden salt i tanken vid tiden t.
En ny funktion K(t) ska ställas upp som beskriver saltkoncentrationen med hjälp av s(t).
a, Vet inte hur man ska tänka
b, Då lösningen minskar med 6l/min salt i vattnet är proportionalitetskonstanten -6. s(t) / 500 är att mängden s(t) minskas av den ursprungliga mängden 500 l lösning.
c, Vet inte hur man ska tänka
d, inte i denna uppg heller
a) Hur mycket salt finns det i tanken från början? Det står i uppgiften.
b) ja
c) Har du lärt dig att se blandningsproblem som s' = IN -UT? I b-uppgiften var IN = 0, eftersom det inte tillfördes något salt till tanken, men nu är det annorlunda.
så s(t) = 50e^-0,015x i a-uppgiften.
in: 6l/min ut: 4l/min
Modell: s´(t) = s(t) (N-M) där N = det som åker in M = det som åker ut och s(t) är mängden från början. Var det rätt?
Men sen en fråga, är saltmängd och saltkoncentration samma sak?
en sen en fråga, är saltmängd och saltkoncentration samma sak?
Nej, men de hör ihop - saltmängden mäts i kg (i den här uppgiften) och saltkoncentrationen mäts i kg/liter. Om du multiplicerar saltkoncentrationen med tankens volym (500 liter i den här uppgiften) får du saltmängden.
Hur går man vidare?
Jag har kommit fram till att variablen IN (n) = 6*0,015 = 0,09
(eftersom det kommer in 0,015kg/l * 6/min)
Sen försvinner det 4l av hela totala lösningen som förändras, men hur anger man den totala lösningen?
Nu vet du värdet på IN. UT är precis samma som tidigare, och y' = IN - UT. Kommer du vidare?
Ut är precis som tidigare? Det står ju 4l/min.
Jag fick UT = 4 / (500 + 2t)
Dvs det minskas med 4 liter av totala mängden saltlösning, som ändras i tanken beroende på t.
I tanken ökar det med 6-4 = 2 l per minut.
Så:
Då det står i uppgiften att man ska ställa upp en differentialekvation som beskriver saltmängden beroende på t, så jag bröt ut s(t):
