S (delmängd) till V. Påstånde: span(s) = "skärningen av alla del-vektorrum av V som innehåller S

För att motbevisa något krävs det bara att hitta ett motexempel, vilket vi kommer göra nu.

Låt oss förenkla situationen. Sätt V=R² och S=R_>0*R (halvplanet x>0). Detta är enkelt att visualisera.

Då får vi att span(S)=R² men snittet av R_>-2*R och R_>-1*R är R_>-1*R vilket är mindre än span(S).

Tillägg: 25 jul 2024 21:34

Söker lite online och verkar som att påståendet är sant trots allt.. Men jag ser inte var mitt motexempel brister :/

Vi får invänta någon mer kunnig.

Tillägg: 25 jul 2024 21:39

Aha, R_>-1*R är ju självklart inget delrum. Mitt fel, motexemplet håller inte.

Detta bevisar ju inte påståendet men det kanske gör att du får lite mer intuitiv förståelse.

Detta brukar i en del böcker ges som definitionen av span.

Här är ett tips för bevis.

Låt C vara mängden av alla delrum som innefattar S.

Visa att det då gäller att X =$\underset{U\in C}{\cap }U$ är det (unika) minsta delrum som innefattar S.

Dvs visa att X $\in$ C. Samt att om Y $\in$ C så gäller det att X är en delmängd av Y.

Låt nu S vara en icke-tom delmängd av V. Visa att span(S) är det minsta delrum som innefattar S, och därmed samma som X.

PATENTERAMERA skrev:

Detta brukar i en del böcker ges som definitionen av span.

Här är ett tips för bevis.

Låt C vara mängden av alla delrum som innefattar S.

Visa att det då gäller att X =$\underset{U\in C}{\cap }U$ är det (unika) minsta delrum som innefattar S.

Dvs visa att X $\in$ C. Samt att om Y $\in$ C så gäller det att X är en delmängd av Y.

Låt nu S vara en icke-tom delmängd av V. Visa att span(S) är det minsta delrum som innefattar S, och därmed samma som X.

Tack! Jag hänger delvis med i resonemangen men förstår inte. Ska läsa på mer om teroi och försökta förstå den kväll när jag vilat hjärnan. 

Om du har någon lämplig video eller hemsida som berör området får du gärna länka den! :D 

Har svårt att förstå min kursbok, (Linear AlgebraS. Friedberg A. Insel L. SpenceFourth Edition).

Philip22 skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Detta brukar i en del böcker ges som definitionen av span.

Här är ett tips för bevis.

Låt C vara mängden av alla delrum som innefattar S.

Visa att det då gäller att X =$\underset{U\in C}{\cap }U$ är det (unika) minsta delrum som innefattar S.

Dvs visa att X $\in$ C. Samt att om Y $\in$ C så gäller det att X är en delmängd av Y.

Låt nu S vara en icke-tom delmängd av V. Visa att span(S) är det minsta delrum som innefattar S, och därmed samma som X.

Tack! Jag hänger delvis med i resonemangen men förstår inte. Ska läsa på mer om teroi och försökta förstå den kväll när jag vilat hjärnan. 

Om du har någon lämplig video eller hemsida som berör området får du gärna länka den! :D 

Har svårt att förstå min kursbok, (Linear AlgebraS. Friedberg A. Insel L. SpenceFourth Edition).

Min intuntion säger nu: S, delmängd till V. Span(S) motsvarar skärningen av ALLA delmängder av V som innehåller S. Jag är villig att hålla med att det är sant. Men det är inte sant om man tar bort ordet "ALLA" om jag tänker rätt. 

Jag försöker att visualisera det det skulle se ut. Mitt första tankesätt tänkte jag att jag har ett vektorrum som är en ihålig glob och har en annan mängd som skär denna, problem uppstår då denna glob är ihålig. DOCK

kommer jag på mig själv att jag inte kan ha ett vektorsom som är globformad för då kommer det inte att vara sluten under "+" och "skalär*". 

Därefter försöker jag att visualisera hur ett vektorrum ser ut allmänt, och här känner jag att min intunsium för vektorrum brister. Kan inte riktigt säga hur det ser ut. Om jag tänker sätt kommer alla vektorrum att vara oändliga för att tillexempel vara sluten under skalärmultiplikaton. Jag kan förseställa mig hur vektorrummet för R*2 säg xy-planet och R^3 ser ut med inte högra än så. 

Problem uppstår hur jag ska kunna visa att spannet av något som jag inte kan visalisera säga R^4 innehåller spannet av ett delrum. Dessutom är båda oändliga. 

PANENTERAMERA, jag har på bilden neden försökt att förstå ditt bevis, jag kommer delvis fram till att:

- vi vill visa att X=C. 

- Jag förstår inte vart Y kommer ifrån och hur det ska hjälp mig?

Jag kanske bara ska försöka släppa att bevisa påstendet, blir bara mer förvirrad... 

Subspace och subset är inte samma sak. Ett exempel på ett subset till $\mathbb{R}^3$ är mängden $\{v\}$ med vektorelementet $v=(1,2,3)\in\mathbb{R}^3$.

Spannet av $\{v\}$ bildar ett underrum till $\mathbb{R}^3$

$\underset{U\in C}{\cap }U$ är bara ett standardsätt att skriva snittet av alla element i mängden C. Alternativt så kan man skriva $\cap \hspace{0.17em}C$, vilket av någon anledning är mindre vanligt.

Notera att uppgiften går ut på att visa att X = $\cap C$ = span(S).

Steg 1. Visa att S $\subset$ X.

Steg 2. Visa att X är ett delrum till V.

Steg 3. Visa att X $\in$ C.

Steg 4.  Visa att X är det (unika) ”minsta” elementet i C. Dvs om Y är vilket element som helst i C så gäller det att X $\subset$ Y. Notera att det som mest kan finnas ett element med denna egenskap.

Steg 5. Visa att span(S) är det minsta elementet i C. Dvs visa att span(S) $\in$ C samt att om Y är vilket element som helst i C så gäller det att span(S) $\subset$ Y. Därmed måste det gälla att span(S) = X, eftersom det minsta elementet i C är unikt.

PATENTERAMERA skrev:

$\underset{U\in C}{\cap }U$ är bara ett standardsätt att skriva snittet av alla element i mängden C. Alternativt så kan man skriva $\cap \hspace{0.17em}C$, vilket av någon anledning är mindre vanligt.

Notera att uppgiften går ut på att visa att X = $\cap C$ = span(S).

Steg 1. Visa att S $\subset$ X.

Steg 2. Visa att X är ett delrum till V.

Steg 3. Visa att X $\in$ C.

Steg 4.  Visa att X är det (unika) ”minsta” elementet i C. Dvs om Y är vilket element som helst i C så gäller det att X $\subset$ Y. Notera att det som mest kan finnas ett element med denna egenskap.

Steg 5. Visa att span(S) är det minsta elementet i C. Dvs visa att span(S) $\in$ C samt att om Y är vilket element som helst i C så gäller det att span(S) $\subset$ Y. Därmed måste det gälla att span(S) = X, eftersom det minsta elementet i C är unikt.

Låt mig försöka igen!

Jag har en mängd S som jag visualiserar som en punkt i rummet. (Punkten misstänker jag skulle kunna representera en mängd i sig --> så det borde vara applicerar bart till högre dimensioner. 

Spanet av min mängd S, (som är punkt) kommer att vara sluten under skalärmultiplikation och addition vilket innebär att vi kommer att ha nollvektor om vi multiplicerar med 0. Det kommer att ge oss en linje från punkten till origo som är oändligt lång i båda hållen. I och med att vi kan "förlänga" linjen åt båda hållen med våra 2 operationer. 

Mitt vetorrum V motsvaras av rummet. Eftersom att S är en delmängd till V så kommer alla delrummet av V redan att innehålla span(s). Om vi nu tänker oss att vi lägger till ett till vektorrum till V så kommer den per difintionen redan att innehålla span(s) och eventuellt yttligare fler element. Span(S) kommer fortfarade vara samma mängd för att vi tar snittet av alla "gemensamma" element. Tänker jag rätt? Är det tillräckligt motiverat för att "bevisa" påståendet!

Stort tack för alla hjälp! :D

Du säger, om jag förstår rätt, att eftersom S är en delmängd till V så kommer alla delrum till V att innehålla span(S). Detta stämmer inte.

Försök att följa de steg som jag skissade i stället. Jag tror att det är nästan omöjligt att visualisera detta på på något enkelt sätt. Man får förlita sig på matematikens makt.

PATENTERAMERA skrev:

Du säger, om jag förstår rätt, att eftersom S är en delmängd till V så kommer alla delrum till V att innehålla span(S). Detta stämmer inte.

Försök att följa de steg som jag skissade i stället. Jag tror att det är nästan omöjligt att visualisera detta på på något enkelt sätt. Man får förlita sig på matematikens makt.

Kan jag säga eftersom S är en delmängd till V. Om vi lägger till en mängder W₁, ...,W_n  som är en delmängd till V

Oavsätt hur många mängder W_i vi lägger till så kommer Snittet av spann(S och alla mängder W) fortfarade att vara en delmängd till V.

Jag vet inte om det ger så mycket. Om du tar en uppsättning, vilken som helst, av delmängder till V så blir snittet av dessa alltid en delmängd till V.