Rumtid-diagram och relativitetsteori (Fysik/Fysik 2)

Den enda utmärkande riktningen i problemet är jordaxelns riktning, så det kanske är lämpligt att ange färdriktningen i termer av hastighetsvektorns vinkel relativt jordaxeln.

Är detta en uppgift för gymnasiet eller för universitetet? Tycker den verkar lite svår för gymnasiet.

Detta är en fråga från Sören Holst bok Rumtid – en introduktion till Einsteins relativitetsteori och den har lite problem då den förutsätter att man kan resa rakt igenom jorden. Nog om det, vi kan ändå diskutera den en aning.

Enligt Einsteins speciella relativitetsteori är det omöjligt att säga något om att saker sker samtidigt så snart de är separerade i rummet. Detta betyder alltså att idén om samtidigt är relativ och varierar beroende på referenssystem. Vet du hur man ritar rumtidsdiagram? Det är något man lär sig i fysik 3 nuförtiden, om jag inte minns fel. Så här ser problemet ut:

Där person C åker i en hiss genom jorden raka vägen mot person A eller raka vägen mot person B och $R$ är jordradien.

a)

Hur snabbt person C ska färdas beräknar du från de så kallade Lorentztransformationerna:

$t' = γ (t - \frac{v x}{c^{2}}) x' = γ (x - v t)$

Där $γ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ är Lorentzfaktorn.

Om vi säger att A knäpper fingrarna vid $t = 0$ och vid position $x = 0$ får vi tiden då detta sker för person C som:

$t'_{A} = γ (0 - \frac{v \cdot 0}{c^{2}}) = 0$

Om vi säger att B knäpper fingrarna vid $t = T$ och vid position $x = 2 R$ (två jordradier bort från A) får vi:

$t'_{B} = γ (T - \frac{v \cdot 2 R}{c^{2}})$

Vi vill att person C som färdas ska uppleva att person A knäpper fingrarna samtidigt som person B vilket ger att:

$t'_{A} = t'_{B} = 0 T - \frac{v \cdot 2 R}{c^{2}} = 0 (*)$

Vi har nu en formel $(*)$ för relativa avvikelsen i samtidighet och om vi bryter ut hastigheten får vi:

$v = \frac{T c^{2}}{2 R}$

Där $T = 0.01 s$ , $c = 3 \cdot 10^{8} m / s$ och $R = 6.4 \cdot 10^{6} m$ .

Med riktning menar de om person C ska färdas mot person A från B eller person B från A. Det skulle i min mening vara ett problem på universitetsnivå om du var tvungen att resa längs med jordytan i två dimensioner.

Tumregeln är oavsett att om du färdas mot en person som knäpper fingrarna kommer du i ditt referenssystem uppfatta det som om denne knäpper fingrarna tidigare. Slutsatsen är därför att person C ska färdas från A mot B för att anse att fingerknäppningarna inträffar samtidigt. Detta kan du visa med ett rumtidsdiagram.

b)

Denna borde du kunna räkna ut själv.

OK jag antog att C rörde sig i rymden någonstans med konstant hastighet relativt jorden. Men man får liknande svar, men utan krav att hastigheten är parallell med jordaxeln förstås.

Går man verkligen igenom Lorentztransformationerna i gymnasiet nu för tiden?

PATENTERAMERA skrev:
OK jag antog att C rörde sig i rymden någonstans med konstant hastighet relativt jorden. Men man får liknande svar, men utan krav att hastigheten är parallell med jordaxeln förstås.

Edit: Notera att bilden är inte från boken utan jag har själv gjort den. Således är det inte något som uppgiften anger.

Blir det likadant om den är parallell med jordaxeln? Jag är för rostig för att avgöra det och min intuition kring relteori utvecklades inte tillräckligt. Problemet så som jag ser det är att enligt så som man härleder lorentztransformationen så pratar man om information som rör sig med ljusets hastighet i en linje mot dig. Om du rör dig parallellt med axeln så måste informationen röra sig längs med en sned linje, eller?

Går man verkligen igenom Lorentztransformationerna i gymnasiet nu för tiden?

Jag tror man tar upp dem genom tidsdilation och längdkontraktion men jag är osäker. Däremot vet jag att i boken som denna uppgift är hämtad från så härleds sambandet jag härledde.

Det finns en del fel i detta problem och lösningen som Ebola presenterar. Problemet är nämligen inte ens lösbart utan att att veta var C befinner sig. Ekvation (*) i Ebolas lösningsförslag saknar även lösning eftersom v är negativt i sättet du ställer upp lösningen (C rör sig ju mot B och inte ifrån). Din lösning går faktiskt åt pipan redan när du säger att $t_{A}' = 0$ då $t=0$ vid $x=0$ . Om $t_{A}' = 0$ måste det nämligen betyda att person C är på samma plats som person A precis då person A knäpper med fingrarna (detta ser du även om du stoppar in $t=0$ och $x=0$ och löser för $x'$ i Lorentztransformationen du presenterade). Det är då rent fysikaliskt omöjligt att informationen om att person B knäpper med fingrarna ska hinna nå person C samtidigt.

Jag kan försöka förklara den korrekta lösningen. Precis som ovan utgår jag då från att person C befinner sig på en axel som går rakt igenom person A och B. Jag tänker även sluta kalla dem "personer" och säger från och med nu bara A, B eller C.

Till och börja med så kan vi rent fysikaliskt konstatera att C måste befinna sig någonstans mellan A och B innan allting sker. Om A skulle befinna sig mellan C och B, och informationen färdas med ljusets hastighet från både A och B till C, så måste givetvis information från A anlända först. Rita ett Minkowsidiagram så ser ni detta direkt.

Vi kan även rita ett minkowskidigram för själv händelsen. Låt oss rita detta i det oprimade koordinatsystemet där A och B är i vila, positionerna för A och B kommer därmed vara lodräta linjer i diagrammet. I det oprimade koordinatsystemet så kommer även tidpunkterna A knäpper med fingrarna, B knäpper med fingrarna vara vågräta linjer, separerade med 0.01 sekunder. Om vi väljer naturliga enheter där ljusets hastighet har numeriskt värde 1 (tex ljusår på rumsaxel, år på tisaxeln) så kommer "nyheter" färdas i 45 graders vinkel och vi får den här oerhört professionella bilden:
Punkten där svarta linjerna skär varandra motsvarar punkten då simultanitet upplevs, dvs där "nyheterna" A knäpper med fingrarna, B knäpper med fingrarna nås samtidigt. Jag har även ritat ut solida röda linjer för C, där lutningen på linjen motsvarar hastigheten C måste ha beroende på var C startar. Som ni ser så får vi olika hastigheter beroende på var C befinner sig från början. Är detta rimligt? Givetvis är det det! Ju närmare C startar A desto snabbare måste C röra sig mot B för att hinna plocka upp "nyheten" från B samtidigt som nyheten från A tas emot.

EDIT: Jag är fullt medveten om att skissen ovan kan göras 10000 gånger mer pedagogisk, jag är bara lat :)

Detta är givetvis bara en kvalitativ lösning på problemet för att förtydliga. Jag kan presentera matematiken också men jag tänkte att ni kanske vill testa lösa det själva först?

Om jag räknar rätt får man kravet att V_x = $\frac{T c^{2}}{2 R}$ . Med x-axeln riktad från A till B. Sedan har man kravet att $||\vec{V}||$ < c, så man får en delmängd av möjliga riktningar på hastighetsvektorn.

Men jag använde geometriska metoder som inte gås igenom på gymnasiet. Så det som sägs nedan är extrem överkurs.

Om vi antar att C är en inertialobservatör med fyrhastighet $\vec{u}$ och om A är händelsen att person A knäpper och B händelsen att person B knäpper så kan man visa att A och B är samtidiga (för C) om och endast om

$\vec{A B}$ • $\vec{u}$ = 0,

där • är skalärprodukten (metriken) i Minkowskirummet.

Sedan finns det en känd formel som länkar $\vec{u}$ till $\vec{V}$ (dvs C:s hastighet relativt en observatör på jorden).

$\vec{u}$ = $γ$ ( ${\vec{e}}_{0}$ + $\frac{\vec{V}}{c}$ ), där ${\vec{e}}_{0}$ är fyrhastigheten för en jordbunden observatör förslagsvis person A.

Vidare har man att

$\vec{A B}$ = cT ${\vec{e}}_{0}$ + $2 R {\vec{e}}_{x}$ .

Man måste komma ihåg att ${\vec{e}}_{0}$ är tidslik så att ${\vec{e}}_{0} ∙ {\vec{e}}_{0}$ = -1 och att ${\vec{e}}_{0} ∙ {\vec{e}}_{x}$ = 0.

PATENTERAMERA skrev:
Om jag räknar rätt får man kravet att V_x = $\frac{T c^{2}}{2 R}$ .

Om C befinner sig hur relativt till de andra personerna? Jag har precis visat att hastigheten person C måste beror på hur personerna spatiellt är relaterade till varandra. Jag förstår tyvärr ingenting av din lösning, och jag har ändå sysslat med en hel del relativitetsteori på masternivå.

Ok här kommer lösningen på problemet:

Låt oss först börja i rätt ände och definiera två koordinatsystem. Vi låter A och B vara i vila i det oprimade koordinatsystemet medan C är i vila i det primade koordinatsystemet. Alla oprimade uttryck är alltså det som A och B skulle mäta, till exempel spatiala avståndet mellan dem $\Delta x= 2R$ , eller tiden mellan knäppningarna (givet att synkat sina klockor) $T$ . Informationen med knäppningarna färdas i ljusets hastighet (om vi utgår från synliga observation och inte själva ljudet som inte resulterat i ett relativitetsproblem).

Låt oss sedan börja med specialfallet där C råkar befinna sig mitt emellan A och B precis när A knäpper med fingrarna vid $t=0$ . Vi inför det primade koordinatsystemet, med hastighet v relativt det oprimade koordinatsystemet, så att detta även motsvarar $t'=0$ . Vi får då minkowskidiagrammet nedan:

I det oprimade koordinatsystemet tar det då tiden $R/c$ innan informationen från A når jordens mitt. B knäpper tiden T senare så den information når jordens mitt vid $R/c +T$ . Skillnaden mellan knäppningarna för en observatör i vila vid jordens mitt är således $\Delta t =R/c + T - R/c = T$ . Detta är givetvis intuitivt, observatören befinner sig mitt emellan A och B och är i vila relativt det oprimade koordinatsystemet, alltså måste nyheterna om knäppningarna nå mittpunkten med precis samma tidsmellanrum som de lämnar personerna som knäpper med fingrarna.. Nu betraktar vi vad C upplever i det primade koordiatsystemet. Lorentztransformationerna ger oss

$\Delta t' = \gamma (\Delta t - v \Delta x / c^2) = \gamma ( T- 2vR/c^2)$ .

Vi vill att C ska uppleva simultanitet så vi kräver att $\Delta t'=0$ och får då (som bekant)

$T = 2vR/c^2 \Leftrightarrow v = Tc^2/(2R)$ .

Detta är precis det resultatet ni kommit fram till men det gäller endast under de förutsättningar som beskrivs ovan. Dvs att personen C befinner sig mitt emellan A och B när händelsen "A knäpper med fingrarna" äger rum. Jag skriver det allmänna fallet i nästa inlägg.

emmynoether skrev:
Det finns en del fel i detta problem och lösningen som Ebola presenterar. Problemet är nämligen inte ens lösbart utan att att veta var C befinner sig.

Intressant. Du bör kanske kontakta Sören Holst (holst@fysik.su.se) angående dina kommentarer.

Så här tänker jag som korrektion på min lösning. Som vi redan etablerat måste C vara någonstans mellan A och B för att ens kunna uppleva att de knäpper fingrarna samtidigt. Vi kan även visa att C måste åka i riktning från A mot B:

Säg gärna till om något är fel i diagrammet. Edit: Jag såg nu hur jag tänkt fel, sätter min felaktiga lösning under spoiler.

Felaktig analys

Vi vet inte var C befinner sig men vi säger att denne befinner sig vid en position $α R$ där $- 1 < α < 1$ , alltså att origo är i mitten av jordklotet. Detta ger att A knäpper fingrarna vid $t=0$ och $x = - R (1 + α)$ vilket ger:

$t'_{a} = γ (0 - (- \frac{v R (α + 1)}{c^{2}}) = γ \frac{v R}{c^{2}} (α + 1)$

Vi får att B knäpper fingrarna vid $t=T$ och $x = R (1 - α)$ vilket ger:

$t_{b}' = γ (T - \frac{v R (1 - α)}{c^{2}}) = γ T + γ \frac{v R}{c^{2}} (α - 1)$

Vi har att vi vill att tidsskillnaden mellan händelse $a$ och händelse $b$ ska vara noll vilket ger:

$t_{b}' - t_{a}' = T + \frac{v R}{c^{2}} (α - 1) - \frac{v R}{c^{2}} (α + 1) = 0 T - \frac{v \cdot 2 R}{c^{2}} = 0$

Detta ger samma relation som innan. Vad är fel med denna analys?

Nu till det allmänna fallet då. Istället för att C befinner sig mitt mellan A och B när händelsen "A knäpper med fingrarna" äger rum så befinner sig C på ett avstånd $d$ från A och $2R-d$ från B. Allting är i princip straight forward men den väsentliga skillnaden ligger i att en observatör i vila på avståndet $d$ ifrån A ej kommer att nås av nyheterna om knäppningarna med tidsmellanrummet $T$ . Det visas nog tydligast med ett Minkowskidiagram:

Notera från diagrammet att $\Delta t$ nu är mycket större än $T$ . Varför är det så? Jo, det tar tiden $d/c$ för nyheterna om knäppningen vid A att nå till en observatör på avståndet $d$ och det tar tiden $(2R-d)/c + T$ för nyheterna att komma från B. Vi får då istället att $\Delta t = (2R-d)/c + T - d/c = T+2(R-d)/c$ . Sedan följer allting precis som ovanstående och svaret blir tillslut

$v=\frac{(T+2(R-d)/c)c^2}{2R}$ .

Notera att $v$ nu är större. Rimligt! Vi måste ju röra oss snabbare mot B för att hinna plocka upp nyheterna vid samma tidpunkt!

felpost

Ebola skrev:
emmynoether skrev:
Det finns en del fel i detta problem och lösningen som Ebola presenterar. Problemet är nämligen inte ens lösbart utan att att veta var C befinner sig.
Intressant. Du bör kanske kontakta Sören Holst (holst@fysik.su.se) angående dina kommentarer.
Så här tänker jag som korrektion på min lösning. Som vi redan etablerat måste C vara någonstans mellan A och B för att ens kunna uppleva att de knäpper fingrarna samtidigt. Vi kan även visa att C måste åka i riktning från A mot B:
Säg gärna till om något är fel i diagrammet. Vi vet inte var C befinner sig men vi säger att denne befinner sig vid en position $α R$ där $- 1 < α < 1$ , alltså att origo är i mitten av jordklotet. Detta ger att A knäpper fingrarna vid $t=0$ och $x = - R (1 + α)$ vilket ger:
$t'_{a} = γ (0 - (- \frac{v R (α + 1)}{c^{2}}) = γ \frac{v R}{c^{2}} (α + 1)$
Vi får att B knäpper fingrarna vid $t=T$ och $x = R (1 - α)$ vilket ger:
$t_{b}' = γ (T - \frac{v R (1 - α)}{c^{2}}) = γ T + γ \frac{v R}{c^{2}} (α - 1)$
Vi har att vi vill att tidsskillnaden mellan händelse $a$ och händelse $b$ ska vara noll vilket ger:
$t_{b}' - t_{a}' = T + \frac{v R}{c^{2}} (α - 1) - \frac{v R}{c^{2}} (α + 1) = 0 T - \frac{v \cdot 2 R}{c^{2}} = 0$
Detta ger samma relation som innan. Vad är fel med denna analys?

EDIT: Är lite stressad, så nu märker jag att jag skriver saker som blir tokigt. Jag måste återkomma då jag precis ska ge mig ut genom dörren. Men titta på mina svar och se om du kan komma på varför det blir fel själv :)

EDIT 2: jag såg att du själv rättade till det ;)

Det roliga med analysen är att man skulle även kunna fråga hur stort $d$ måste vara utan att det krävs att $v>c$ . Vi får enkelt ett kriterie enligt:

$d > \frac{cT}{2}$

För vårt problem betyder detta alltså att:

$d > \frac{R}{4}$

Men, frågan är vad den övre gränsen på intervallet är? Givet att $2R > d$ så klart men bör det vara $\frac{7R}{4}$ ?

Jag tror vi pratar förbi varandra. Vad emmynoether menar med samtidighet och vad som Ebola och jag menar med samtidighet är inte samma begrepp. Emmy menar med samtidighet att ljuset från de båda knäpparna når C samtidigt. Dvs, givet att C har ögon i nacken, så skulle C se knäpparna samtidigt. Med det är ju ett ganska naivt samtidighetsbegrepp. Tex så skulle man kunna se en gatlykta tändas samtidigt som man ser en supernova i Andromedagalaxen blossa upp på himlen. Men man skulle inte för den skull hävda eller anse att supernovaexplosionen faktiskt skett samtidigt som gatlyktan tändes.

Låt oss starta från ett inertialsystem, där personerna A och B (approximativt) är i vila, och som associerar en koordinat-kvartet (ct, x, y, z) till varje händelse i rumtiden. I detta system så anser man händelser som samtidiga om deras tids-koordinater är lika. Om vi även inför ett inertialsystem där C är i vila så associerar detta system en kvartet (ct’, x’, y’, z’) till varje händelse i rumtiden. På samma sätt anser man i C:s inertialsystem att två händelser är samtidiga om deras tids-koordinater är lika. Som visas av Ebola, i ett specialfall, så är det möjligt att händelser som inte är samtidiga i det första systemet kan anses samtidiga i det andra systemet.

Jag använde mig av ett lite generellare samtidighetsbegrepp som infördes av Einstein och Poincare’. Det fungerar även för accelererade observatörer. Men är helt förenligt med Ebolas beräkningar.

Tänk att precis detta du talar om slog mig när jag tänkte på problemet en bra stund. Det jag pratar om är ju inte ens händelsen ”någon knäpper med fingret”, det är ju händelsen ”nyheten att någon knäppt med fingret når en observatör”. Jag är hos ett par bekanta just nu men jag lovar att jag ska förtydliga mig själv imorgon.

PATENTERAMERA skrev:
Jag tror vi pratar förbi varandra. Vad emmynoether menar med samtidighet och vad som Ebola och jag menar med samtidighet är inte samma begrepp.

Det var lite så jag tolkade det också till en början. Min intuition var att observatören C:s uppfattning om när något sker inte är direkt länkad till huruvida informationen om att det skett nått fram till denne.

När jag sedan tittade på beräkningarna får man att $x'=0$ om $x=0$ och $t=0$ , detta talar väl inte om att C har den positionen så som Emmy påstod utan det är vid den koordinaten som C uppfattar att händelsen a (A knäpper) sker? Detta är alltså oberoende av vilken position observatören C har. Det är vid den koordinaten som världslinjen för C passerar händelsen.

Jag blir riktigt sugen på att läsa en till kurs i allmän relativitetsteori efter denna diskussion, det märks att jag behöver räta ut ett par frågetecken.