Rötter i komplexa tal 2

Prova med roten ai. Vilket värde har a för att det skall stämma?

Ok, jag testar så fort jag kan. Och det går inte att lösa det med miniräknaren solve funktion va?

Daja skrev :

Ok, jag testar så fort jag kan. Och det går inte att lösa det med miniräknaren solve funktion va?

Tanken är nog att du ska lösa det med papper och penna.

Annars kan WolframAlpha lösa det om din räknare inte klarar det.

Det ger mig något ohanterbart :(((

Vad är imaginärdelen av högerledet?

En sak till: Vad är i^3 ?

Hej!

Om $z = iy$ är en rot så är dess komplexkonjugat också en rot. Fjärdegradspolynomet kan faktoriseras som

    $(z-iy)(z+iy)(z^2+az+b) = (z^2+y^2)(z^2+az+b).$

Identifiera det reella talet $y$ och de komplexa talen $a$ och $b$ och lös sedan andragradsekvationen

    $z^2+az+b = 0$

för att finna fjärdegradspolynomets samtliga fyra rötter.

Albiki

Bubo skrev :

Vad är imaginärdelen av högerledet?

En sak till: Vad är i^3 ?

Hoppsan, det är -i.

Jag går inte så mycket vidare:

Albiki skrev :

Hej!

Om $z = iy$ är en rot så är dess komplexkonjugat också en rot. Fjärdegradspolynomet kan faktoriseras som

    $(z-iy)(z+iy)(z^2+az+b) = (z^2+y^2)(z^2+az+b).$

Identifiera det reella talet $y$ och de komplexa talen $a$ och $b$ och lös sedan andragradsekvationen

    $z^2+az+b = 0$

för att finna fjärdegradspolynomets samtliga fyra rötter.

Albiki

Förstår inte din stil Alibiki. Hur identifierar jag a och b?

 Det där ser bra ut, så du har alltså ekvationen

$a^4 - 6a^3 i - 13a^2 + 18ai + 30 = 0$

Om detta ska vara noll så måste både imaginärdelen och realdelen vara noll. Så man får att

$a^4 - 13a^2 + 30 = 0$ och

$-6a^3 + 18a = 0$

som du nog kan lösa.

Eller inte:

Eftersom a ska lösa båda ekvationerna simultant så räcker det att du löser ena ekvationen och sedan testar om lösningarna till den löser den andra ekvationen. Och du fått fram att lösningarna till

$-6a^3 + 18a = 0$

(du har råkat skriva $a^4 = 3$, men det ska stå $a^2 = 3$.)

är $\pm \sqrt{3}$, men du missade roten $a = 0$. Det enda vi nu behöver göra är att testa vilka av dessa som löser ekvationen

$a^4 - 13a^2 + 30 = 0$

Det är enkelt att se att $a = \pm \sqrt{3}$ löser denna ekvation genom att bara stoppa in det i den, och att $a = 0$ inte gör det.

Därför har vi alltså att $z = \pm \sqrt{3}i$ är rötter till den ursprungliga ekvationen.

Just det, jag har ju glömt vad var poängen. Samma a måste lösa båda ekvationer.

Nu har jag gjort om.

Tack Stokastisk!

Och 3 var inga lösning eller?

Så, nu har du 2 av rötterna. Vidare till de sista 2!

Nej 3 är ingen lösning, det är inte en lösning till någon av ekvationerna.

OK men isf varför min kurva har en minimipunkt för 3?

Joculator: nu måste jag nog dividera min polynom med $\left(z^2-3\right)$?

Nu förstår jag faktisk inte riktigt vad du menar

$-6a^3 + 18a = 0$

har lösningarna $a = 0$, $a = \pm \sqrt{3}$ och ekvationen

$a^4 - 13a^2 + 30 = 0$

har lösningarna $a = \pm\sqrt{3}$, $a = \pm\sqrt{10}$.

Men hursomhelst, eftersom du vet att $z = \pm \sqrt{3}i$ så har du att

$(z - \sqrt{3}i)(z + \sqrt{3}i) = z^2 + 3$

är en faktor till polynomet

$z^4 + 6z^3 + 13z^2 + 18z + 30$

Så dividera detta polynom med $z^2 + 3$, notera att det är +3 och inte -3.

Konstigt, jag skrev ett svar, men den försvann där.

Jo, jag glömde i och därför blev det $z^2-3$ istället för $z^2+3$.

Angående 3, när jag ritade funktionen på dosan (varför kallar ni miniräknaren dosan??) fick jag en minimipunkt för -3, trodde jag. Därför undrade jag om jag skulle få ut den som lösning.

Och dom sista lösningar är:

$-3\pm i$! Tadam!

För länge sedan (när jag gick på högstdiet, d v s slutet av 70talet/början av 80-talet) brukade man ofta kalla miniräknaren för räknedosa. En dosa är en ask, en liten låda. Det vanligaste användningsområdet för ordet dosa är snusdosa.

Jaha, nej du ska inte få ut -3 som lösning. Utan rötterna är ju där funktionen är noll inte där du har ett minimum för funktionen. Exempelvis så har ju polynomet $x^2 - 1$ rötterna $\pm 1$ men minimipunten $(0, -1)$ och $0$ är ingen rot till det.

Man kan kalla miniräknaren för dosa, men det låter betydligt bättre med miniräknare i mina öron.

Nähä, därför dosa...

Just det, det var det du sa till Papput. Att en tvådimensionella plan som representerar en kurva som har irrella lösningar, ger inte dom här lösningarna till den blotta öga. Eller nåt sånt på bättre svenska.