Rötter i komplexa tal 1
Jag har fråga:
Ekvationen z4-2z3+z2+2z-2=0 har en rot z=1+i. Bestäm ekvationens övriga rötter.
Jag tänkte att ekvationen har reella koefficienter, som betyder att den andra rot är z=1-i. Första misstag var att multiplicera (1+i)*(1-i) = 2 och testa att sätta in 2 i ekvationen. Resultat blev inte noll. Varför?
Efter det har jag delat polynomet med 2 (som jag skulle lika gärna hade inte behövt göra) och testat mig fram med 1 och -1, enligt vad Affe rekommenderade i min slarvlista (alltid testa 1, 2 och 3).
Men det känns att jag har löst det helt random. Finns det en mer metodisk sätt?
2 är ingen rot till ekvationen, däremot är 1+i och 1-i två rötter till ekvationen, det finns inget som säger att produkten av två rötter är en rot.
om rötterna är z1, z2, z3 och z4 så kan ekvationen skrivas (z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4) = 0
vi kan alltså dela med (z-z1)(z-z2) och sen lösa den kvarvarande ekvationen som nu bestäms av
(z-z3)(z-z4)= 0
I ditt fall ska du dela med (z-1-i)(z-1+i) Det är fiffigt att multiplicera ihop detta innan du dividerar.
Nähä, där ser man. Jag hade multiplicerat (1+i) med (1-i) och glömde z:an!
Jag återkommer senare när jag kan skriva med penna papper.
Hej!
Det givna fjärdegradspolynomet kan alltså faktoriseras som
(z2-2z+2)(z2+az+b).
Identifiera koefficienterna a och b och lös sedan andragradsekvationen z2+az+b=0 för att finna de återstående två rötterna till fjärdegradspolynomet.
Albiki
Jag börjar med vad Ture skriver:
(z-1-i)(z-1+i)=z2-z+zi-z+1-i-iz+i-i2=z2-2z+2 som stämmer med vad Albiki skrev.
Och nu måste jag lösa med och det blir:
Så ja, 1 och -1! Tack!
Hur menar du Albiki när du säger identifiera koefficienterna a och b? Varifrån måste jag identifiera dom?
Och förresten, fiffig, vilket roligt ord :)!
