Rötter i komplexa tal 1

Jag har fråga:

Ekvationen $z^{4} - 2 z^{3} + z^{2} + 2 z - 2 = 0$ har en rot $z = 1 + i$ . Bestäm ekvationens övriga rötter.

Jag tänkte att ekvationen har reella koefficienter, som betyder att den andra rot är $z = 1 - i$ . Första misstag var att multiplicera $(1 + i) * (1 - i)$ = 2 och testa att sätta in 2 i ekvationen. Resultat blev inte noll. Varför?

Efter det har jag delat polynomet med 2 (som jag skulle lika gärna hade inte behövt göra) och testat mig fram med 1 och -1, enligt vad Affe rekommenderade i min slarvlista (alltid testa 1, 2 och 3).

Men det känns att jag har löst det helt random. Finns det en mer metodisk sätt?

2 är ingen rot till ekvationen, däremot är 1+i och 1-i två rötter till ekvationen, det finns inget som säger att produkten av två rötter är en rot.

om rötterna är z1, z2, z3 och z4 så kan ekvationen skrivas (z-z1)(z-z2)(z-z3)(z-z4) = 0

vi kan alltså dela med (z-z1)(z-z2) och sen lösa den kvarvarande ekvationen som nu bestäms av

(z-z3)(z-z4)= 0

I ditt fall ska du dela med (z-1-i)(z-1+i) Det är fiffigt att multiplicera ihop detta innan du dividerar.

Nähä, där ser man. Jag hade multiplicerat (1+i) med (1-i) och glömde z:an!

Jag återkommer senare när jag kan skriva med penna papper.

Hej!

Det givna fjärdegradspolynomet kan alltså faktoriseras som

$(z^2-2z+2)(z^2+az+b).$

Identifiera koefficienterna $a$ och $b$ och lös sedan andragradsekvationen $z^2+az+b = 0$ för att finna de återstående två rötterna till fjärdegradspolynomet.

Albiki

Jag börjar med vad Ture skriver:

$(z - 1 - i) (z - 1 + i) = z^{2} - z + z i - z + 1 - i - i z + i - i^{2} = z^{2} - 2 z + 2$ som stämmer med vad Albiki skrev.

Och nu måste jag lösa $z^{4} - 2 z^{3} + z^{2} + 2 z - 2$ med $z^{2} - 2 z + 2$ och det blir:

Så ja, 1 och -1! Tack!

Hur menar du Albiki när du säger identifiera koefficienterna a och b? Varifrån måste jag identifiera dom?

Och förresten, fiffig, vilket roligt ord :)!

Svara

Visa senaste svar