Roterande volymer (Bonjour tristesse 4)

Hur löser du rotationsuppgifter? Gör på samma sätt så får du ett uttryck för rotationsvolymen. Det är det uttrycket du skall optimera.

Sen har du fel i din figur, det skall vara a^2 inte x^2
Annars hade det varit enkelt, du hade fått en boll med diametern a

 ah vilket åsna, jag skickade fel graf...

Så uttryck jag måste optimera är pi*(ax-a^2)^1,5/(1,5*(x-2a))?

Nej. Använd skivmetoden. Varje skiva har tjockleken dx och arean $\pi y^2$, d v s vad då? Vad blir hela integranden? Vilka är integrationsgränserna?Vilket värde får integralen? (Det blir ett uttryck där x har försvunnit). Derivera detta uttryck m a p a och sätt det lika med 0. Vilket värde får a?

Har du redan övergivit checklistan, Daja?

Jag tar upp det igen. Jag börjar med 8:an med lite choklad.

1. Rita figur, förstå vad de frågar efter.

Hmm det är svårt för att vi har 2 variablar. Hur gör en i sådana fall? Måste jag välja en godtycklig a mellan 0 och 1 för att ha en idé om hur kurvan borde se ut?

2. Bestäm områdets gränser.

a och 1

3. Välj integrationsmetod (skalmetoden/skivmetoden).

Jag måste ta skivmetoden för att boken har inte anlitat oss med skalmetoden :D (jag skojas, jag vill bara kunna göra det)

4. Finn ett uttryck för volymselementet dV.

Jag integrerar mellan a och 1, så det fullt är möjligt att a blir the new black, dvs att jag måste integrera med respekt till a istället till x...($\pi {\int }_a^1\frac{({\displaystyle \frac{a^{2}x}{2}}-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}{)}^{1,5}}{1,5(x-2a)}$ ). Men nu har jag gjort det och hela uttrycket ser ut väldigt konstigt. Eftersom a ett bara ett tal och att det är fortfarande "y skivor" som vi kommer att räkna, jag fortfarande integrerar wrt x. Det blir:

$f\left(x\right)=\sqrt{ax-a^2} =(ax-a^2{)}^{0,5}$

$\mathrm{\pi }{\int }_a^1\frac{(\mathrm{ax}-{\mathrm{ax}}^2{)}^{1,5}}{1,5*(\mathrm{a}-2\mathrm{ax})}\mathrm{dx}$

5. Bestäm integrationsgränserna (från punkt 3).

a till 1. Men varför måste jag göra det 2 gånger?

6. Integrera.

$\mathrm{\pi }{\int }_a^1\frac{(\mathrm{ax}-{\mathrm{ax}}^2{)}^{1,5}}{1,5*(\mathrm{a}-2\mathrm{ax})}\mathrm{dx} =\mathrm{\pi } \left[\frac{a^2-a^3}{1,5(a-2a^2)}-0\right]=\mathrm{\pi }\left[\frac{(\mathrm{a}-{\mathrm{a}}^2)}{1,5(1-2\mathrm{a})}\right]$ 

Men i detta fallet jag borde ha väl deriverat först och sätta $\sqrt{ax-a^2}=0$, dvs $ax-a^2$=0, som hjälper inte...

7. Kontrollera/rimlighetsbedöm svaret.

... I have no words.

8. Belöna dig själv för ett väl utfört arbete.

Redan gjort i förväg för att jag kände på mig att det kommer att sluta så!

EDIT: jag har missat att Smaragdalena sa att jag måste derivera med avseende på a (men hur bestämmer ni detta?)

$\pi {\int }_a^1\frac{({\displaystyle \frac{a^{2}x}{2}}-{\displaystyle \frac{a^3}{3}}{)}^{1,5}}{1,5(x-2a)}$, men x har inte försvunnit?

1. Håller med om att det är svårare att rita en figur när man inte vet a. Det bästa vore om man orkar tänka på hur funktionen ser ut om a = 0, a = 1 och a = t ex 0,5. Jag vet att a varken kan bli 0 eller1, men det kan bli hur nära som helst, och 0 och 1 ger så enkla kurvor.

4.Här får du ett mycket krångligare uttryck än vad jag fick. För varje skiva gäller att radien är lika med y, och arean blir då $\pi y^2$, så du  blir av med rotuttrycket. Skivans tjocklek är dx.

När du skrive wrt är det väl en förkorning av "with respect to"? Den svenska motsvarigheten är m a p, som utläses "med avseende på".

5. Det är inte säkert att områdets gränser är de samma som integrationsgränserna. Ibland är de det, ibland inte.

6. Här får du ett mycket enklare uttryck att integrera än du hade förra gången. När du integrerat, får du fram ett uttyck utan x. Det är detta uttryck du skall derivera m a p a. Sätt derivatan lika med 0 och räkna fram a. Sätt in a i ditt ursprungliga uttryck

smaragdalena skrev :

1. Håller med om att det är svårare att rita en figur när man inte vet a. Det bästa vore om man orkar tänka på hur funktionen ser ut om a = 0, a = 1 och a = t ex 0,5. Jag vet att a varken kan bli 0 eller1, men det kan bli hur nära som helst, och 0 och 1 ger så enkla kurvor.

4.Här får du ett mycket krångligare uttryck än vad jag fick. För varje skiva gäller att radien är lika med y, och arean blir då $\pi y^2$, så du  blir av med rotuttrycket. Skivans tjocklek är dx.

När du skrive wrt är det väl en förkorning av "with respect to"? Den svenska motsvarigheten är m a p, som utläses "med avseende på".

5. Det är inte säkert att områdets gränser är de samma som integrationsgränserna. Ibland är de det, ibland inte.

6. Här får du ett mycket enklare uttryck att integrera än du hade förra gången. När du integrerat, får du fram ett uttyck utan x. Det är detta uttryck du skall derivera m a p a. Sätt derivatan lika med 0 och räkna fram a. Sätt in a i ditt ursprungliga uttryck

Om jag följer dina instruktioner får jag:

$y^2={\sqrt{ax-x^2}}^2$

$\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^1\mathrm{ax}-{\mathrm{a}}^2 \mathrm{d}$a eller x? Om jag deriverar m a p (tack!) x försvinner den, men om jag deriverar med avseende på a, blir x en konstant!