Rotera kring båda axlarna (Matematik/Matte 5/Integraler)

Du krigar på med matten tidigt du! :)

Teckna ett uttryck för volymen kring antingen x eller y axeln. Detta uttryck kommer innehålla a.

Dubbla eller halvera detta uttryck och sätt det lika med den volymen du inte beräknat.

Förstår du vad jag menar?

Du ska börja med att skissa grafen till funktionen och linjen x = 2 så att du ser vilket område som avses.

Sedan ska du försöka illustrera hur det ser ut när detta område roterar ett varv runt x-axeln.

Gör ytterligare en skiss, med samma område, men som roterar runt y-axeln istället.

Sätt upp ett uttryck för den första volymen V_xoch ett annat uttryck flr den andra volymen V_y.

Ställ sedan upp och lös ekvationen V_x =V_y/2

Yngve skrev:
Du ska börja med att skissa grafen till funktionen och linjen x = 2 så att du ser vilket område som avses.

Sedan ska du försöka illustrera hur det ser ut när detta område roterar ett varv runt x-axeln.

Gör ytterligare en skiss, med samma område, men som roterar runt y-axeln istället.

Sätt upp ett uttryck för den första volymen V_xoch ett annat uttryck flr den andra volymen V_y.

Ställ sedan upp och lös ekvationen V_x =V_y/2

Min förklaring var otydlig eller? :)

mrpotatohead skrev:

Min förklaring var otydlig eller? :)

Nej, inte alls. Men vi skrev nog samtidigt, det var ingen som hade svarat när jag började skriva.

Yngve skrev:
mrpotatohead skrev:

Min förklaring var otydlig eller? :)

Nej, inte alls. Men vi skrev nog samtidigt, det var ingen som hade svarat när jag började skriva.

Aha okej.
Kan tycka att funktionen att se att andra skriver är väldigt inkonsekvent. Händer ganska ofta just detta.

Oftast funkar det bra tycker jag.

Innan funktionen fanns på plats var det betydligt vanligare med flera "samtidiga" svar.

Yngve skrev:
Oftast funkar det bra tycker jag.

Innan funktionen fanns på plats var det betydligt vanligare med flera "samtidiga" svar.

Aa så länge har inte jag varit med😅

Laggar en del för mig..

Hur skulle uttrycken kunna se ut? Jag förstår inte riktigt hur jag ska göra de när inga siffror är med

blir den andra då integralen av y2 y1 (vet ej hur man skriver ut tecknet här) (pi(f(x)^2 dx)/2och x då som en funktion av y?

Såhär långt är jag med. Men vad är de jag ska sätta mot varandra? Hela integralerna? Och ska v2 vara delat med 2?

Dina skisser är inte helt rätt.

Eftersom området begränsas av parabeln, x-axeln och linjen x = 2 så ser rotationskropparna ut ungefär så här (streckade områden).

För att beräkna volymen runt x-axeln passar skivmetoden bra, dvs att dela upp kroppen i ett stort antal cirkulära skivor som staplas på varandra I rotationsaxelns (dvs x-axelns) riktning. Varje skiva har en radie $r$ som beror av x och en tjocklek $\operatorname dx$ . Det betyder att varje skivas area är $\pi r^2$ och att volymbidraget från varje skiva är $\pi r^2\operatorname dx$ . Om du nu uttrycker radien $r$ med hjälp av den givna informationen så har du din integrand klar. Integrationsgränserna är då från x = 0 till x = 2.

För att beräkna volymen runt y-axeln passar skalmetoden bra, dvs dela upp kroppen i ett stort antal cirkulära skal som ligger utanpå varandra centrerat runt och vinkelrätt mot rotationsaxeln (dvs i x-led). Varje skal har en radie r, en höjd h som betor av x och en tjocklek $\operatorname dr$ . Det betyder att varje skals omkrets är $2\pi r$ , dess area är $2\pi rh$ och att volymbidraget från varje skiva är $2\pi rh\operatorname dr$ . Om du nu uttrycker höjden h och radien r med hjälp av den givna informationen så har du din integrand klar. Integrationsgränserna är även då från x = 0 till x = 2.

Om skalmetoden känns krångligt kan du istället betrakta rotationskroppen runt y-axeln som en cylinder med en urgröpning i mitten. Då kan du använda att rotationskroppens volym är lila med cylinderns volym minus volymen av urgröpningen (som du kan beräkna med skivmetoden).

Dum fråga, men sätter jag då in gränsvärdena i r?

Radien r beror på x-positionen som skivan befinner sig på.

Du kan alltså uttrycka r i termer av x.

Rita in en radie i en större bild så ser du nog hur det hänger ihop.

Kommentar: Du har fått in för många $\pi$ och du kvadrerar fel uttryck.

Integralen ska bli $V=\int_{0}^{2}\pi r^2\operatorname dx$

Skulle du kunna visa hur den primitiva funktionen blir och vart du sätter in x värdena? Jag blir så förrvirrad

Rita! Rita en skiva vid x-koordinaten x. Rita radien. Visa din skiss.

R = y- värde. Ska jag då sätta in 4/2= 2 istället för r?

Pröva att göra som jag säger istället för att gissa.

Julialarsson321 skrev:
R = y- värde. Ska jag då sätta in 4/2= 2 istället för r?

Förlåt mitt inlägg, ser nu att det inte hjälpte dig framåt.

Det stämmer att radien r är y-värdet.

Så här: Vid x-koordinaten x (se bild) är

skivans radie $r(x)=ax^2$
skivans area $A(x)=\pi r^2=\pi\cdot (ax^2)^2=\pi a^2x^4$
skivans tjocklek $\operatorname dx$
skivans volym $dV=A(x)\operatorname dx=\pi a^2x^4\operatorname dx$

DeN vänstraste skivan ligger vid $x=0$ och den högraste skivan ligger vid $x=2$

Rotatationskroppens volym är nu summan av alla dessa skivor volymer, vilket är $V=\int_{0}^{2}\pi a^2x^4\operatorname dx$

Hängde du med?

Jaa nu förstår jag. Men då ska jag räkna ut den integralen och föra samma sak för den runt y-axeln? Och sen?

De två beräkningarna på volymen för x-rotationen och y-rotationen kommer att innehålla variabeln a. Sedan väljer man värdet på a så att den första volymen blir hälften av den andra.

Skulle du kunna visa hur?

Julialarsson321 skrev:
Skulle du kunna visa hur?

Läs mitt svar #15 igen..

Förstod du de olika alternativen att beräkna volymen V_y, dvs volymen vid rotation runt y-axeln?

Om ja, vilken väg väljer du?

=====

Illustration av skalmetoden:

Ja, jag tänkte välja skalmetoden men lite osäker på hur man använder den här

Tänk dig en cylindrisk konservburk av plåt utan vare sig lock eller botten.

Det är den formen jag menar när jag pratar om ett cylindriskt skal.

Konservburken har en radie r, en höjd h och en tjocklek dr.

Konservburkens

omkrets är $2\pi r$
area är $2\pi rh$
volym (dvs mängden plåt) är $2\pi rh dr$

Är du med så långt?

Yes så långt är jag med

Bra.

Tänk dig nu att rotationskroppen är uppbyggd av en stor mängd sådana konservburkar som står tätt packade "i varandra".

Den innersta burken har radien 0 och den yttersta burken har radien 2.

Burkarnas höjd varierar från a•0² = 0 för den innersta burken till a•2² = 4a för den yttersta burken.

Är du med på att rotationskroppens volym är lika med summan av (plåt)volymerna hos alla dessa burkar?

Ja det är jag med på

OK bra.

Kan du då skriva en integral vars värde är just denna volym, dvs V_y?

2πrhdr med 0 och 4 (2^2=4) som värden?

Såhär långt är jag helt med, men jag förstår inte hur jag ska räkna ut den andra med skalmetoden. Jag har lärt mig att man ska ”klippa upp” men blir så förvirrad över formen här och att det är 2 st. Kan du visa hur du räknar ut den?

Julialarsson321 skrev:
2πrhdr med 0 och 4 (2^2=4) som värden?

Ja.

Om vi räknar radien r i positiv x-riktning så är r = x och dr = dx.

Höjden h beror på x-värdet enligt h(x) = ax²

Vi får då att bidraget till den totala volymen från ett skal (konservburk) är $2\pi x\cdot ax^2\operatorname dx=2\pi ax^3\operatorname dx$

Summan av alla dessa bidrag är den totala volymen, dvs $V_y=\int_{0}^{2}2\pi ax^3\operatorname dx=2\pi a\int_{0}^{2}x^3\operatorname dx$

Julialarsson321 skrev:
Jag har lärt mig att man ska ”klippa upp” men blir så förvirrad över formen här och att det är 2 st.

Att klippa upp och släta ut ett skal (konservburk) är ett bra sätt att inse att dess totala area är $2\pi rh$ och att dess (plåt)volym är $2\pi rh\operatorname dx$

Jag förstår inte vad du menar med att det är 2 st. Bilden till höger är en genomskärning av den rotationsvolym som bildas då området vrids ett varv runt y-axeln.

Se Jan Ragnars utmärkta 3D-illustration i svar #9.

Så integralen blir V= Area* tjocklek = 2pirh dx från 0 till 4? Och ska jag räkna ut den eller sätta den = x-axelns integral?

Läs svar #35. Och sedan svar #3.

Okej. Så

Vx= Vy/2

så alltså: ∫0 till 2 pia^2x^2 dx =(2πa∫20x3dx)/2

Julialarsson321 skrev:
Okej. Så

Vx= Vy/2

Ja

så alltså: ∫0 till 2 pia^2x^2 dx =(2πa∫20x3dx)/2

Nej, V_xstämmer inte.

Se svar #22. Där står exakt hur V_x ska se ut.

Och hur ser ditt V_yut egentligen?

Det är nog bättre att du skriver på ett papper, tar en bild och laddar upp.

Jag blir lite förvirrad men de olika, skulle du kunna visa så jag ser?

Yngve skrev följande (i svar #22)
$V_x=\int_{0}^{2}\pi a^2x^4\operatorname dx$

Vx= Vy/2

Vx=∫20πa2x4dx

vy=2πa∫20x3dx

∫20πa2x4dx = (2πa∫20x3dx)/2

hur fortsätter jag?

Beräkna integralernas värden.

Det ger dig en ekvation där a är den obekanta storheten.

Vad betyder obekanta storheten?

Bara ett uttryck. Glöm det.

Försök att lösa ut a ur ekvationen, dvs skriv om ekvationen så att a står ensamt på ena sidan av likhetstecknet.

Ska jag göra det innan jag räknar ut integralerna?

Nej, efter.

Som jag skrev I svar #44

Stämmer detta?

Och är detta rätt?

hallå behöver lite hjälp med en uppgift. vet inte riktigt hur jag ska få fram volymen på dom rundade bitarna kring y-axeln.

??

daniel5384 skrev:
hallå behöver lite hjälp med en uppgift. vet inte riktigt hur jag ska få fram volymen på dom rundade bitarna kring y-axeln.

Skapa en ny tråd med uppgiften.

Julialarsson321 skrev:
Och är detta rätt?

Nej.

Du har ett x för mycket i uttrycket för V_x,se bild.

Och du använder likhetstecken fel, se parenteser.

.

daniel5384 skrev:
hallå behöver lite hjälp med en uppgift. vet inte riktigt hur jag ska få fram volymen på dom rundade bitarna kring y-axeln.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Kolla in denna tråd.

Om.du vill ha mer hjälp så bör du skapa en egen tråd för din fråga, som mrpotatohead tipsade om.

Jag får a1=0 och a2=0,625 är det rätt?

Bra!

Din uträkning är rätt (även om du skriver fel på ett par ställen).

Hur tolkar du dina båda svar och vilket/vilka väljer du?

Vart blir det fel? Jag antar att a2 är det svaret jag ska välja. Men är det svaret på hela frågan eller ska jag räkna ut mer?

Jag har marketat de likhetstecken som inte gäller:

Ett likhetstecken betyder inte "och sen gör jag så här" eller "och det leder till" eler "min sidouträkning är", utan det betyder "är lika med".

Och i din uträkning så gäller inte att det som står till vänster om likhetstecknet verkligen är lika med det som står till höger om det.

Eller också har du bara glömt att skriva dit faktorerna som saknas, så här:

Ja, det är a₂ du ska välja. Ver du varför?

Tack nu ser jag vad som blev fel.

i frågan står det ” undersök om talet a kan väljas så att volymen av rotationskroppen runt x-axeln är hälften så stor som runt y- axeln”. Jag antar då att jag ska kunnna bevisa att a= 0,625 blir hälften så stor i funktionen för y- axeln? Men hur gör jag det?

Jag tänkte a2 för att det inte kan vara 0 som a1 är

Julialarsson321 skrev:
Tack nu ser jag vad som blev fel.

Bra

i frågan står det ” undersök om talet a kan väljas så att volymen av rotationskroppen runt x-axeln är hälften så stor som runt y- axeln”. Jag antar då att jag ska kunnna bevisa att a= 0,625 blir hälften så stor i funktionen för y- axeln? Men hur gör jag det?

Det är precis det du har gjort genom att lösa ekvationen v_x = V_y/2. Du är klar.

Julialarsson321 skrev:
Jag tänkte a2 för att det inte kan vara 0 som a1 är

Det stämmer. För om a = 0 så blir det inga rotationskroppar.

Jahaa. Så ska jag skriva då svar: påståendet stämmer då a=0,625? Eller VSV?

Svaret kan vara: "Ja, om a = 5/8."