Rotera enhetscirkeln kring y = 10-x och bestämma volymen på den torus som genereras.

Om du skär ett ”snitt” i torusen går den att veckla ut till en cylinder med längden 2pi*R och radien 1 l.e. Cylinderns volym motsvarar torusens volym. Det enda du behöver ta reda på är alltså sträckan R.

Kommer du vidare?

Teraeagle skrev:

Om du skär ett ”snitt” i torusen går den att veckla ut till en cylinder med längden 2pi*R och radien 1 l.e. Cylinderns volym motsvarar torusens volym. Det enda du behöver ta reda på är alltså sträckan R.

Kommer du vidare?

Hmm, nu är vi nog på rätt väg.

Varför är cylinderns längd (höjd?) 2pi*R?

R kalkylerar jag till $\sqrt{50}$.

På bilden har jag försökt illustrera processen av att ta 1/4 av torusen och veckla ut den till en cylinder. Är det så du hade tänkt dig? Volymen av torusen blir då 4*V_cyl.

EDIT 3:
Jag la märke till att "R" i cylindern förmodligen är inkorrekt, höjden på cylindern bör rimligtvis vara > R om vi vecklar ut 1/4 torus till en cylinder. Du sa ju att längden är "2piR" vilket skulle ge en total volym på "$2\mathrm{\pi \pi }\sqrt{50}$" vilket är det korrekta svaret. Så jag behöver bara förstå varför längden är "2piR"

EDIT 4:
Jag tror att jag förstår nu! Centroiden (mittpunkten på enhetscirkeln) färdas 2piR när torusen genereras vilket är vad som är höjden på cylindern då vi vecklar ut torusen! Så "R?" i min bild skall egentligen vara "(piR)/2" ty det är 1/4 av sträckan centroiden färdas.

Guldins sats - då har man integrerat en gång för alla och behöver bara sätta in de aktuella värdena i formeln.

Smaragdalena skrev:

Guldins sats - då har man integrerat en gång för alla och behöver bara sätta in de aktuella värdena i formeln.

Wow... jag hade helt och hållet glömt av att den existerar! Tack för påminnelsen.