Roten ur ett tal

Kort svar: Ja

För Tredjeroten ur(kubikroten ur) ur ett positivt tal så måste den vara ett icke-negativt tal("positivt") alldeles oavsett

ex. $$\begin{gathered} \sqrt[3]{8}=2 \\ 2·2·2=8 \\ -2 kan inte vara en lösning för -2·-2·-2=-8 \end{gathered}$$

$\sqrt[3]{-8}$är inte definierat då det inte tillåts ta roten ur negativa tal.

För fjärderoten ur ett tal så gäller samma sak att det är det icke-negativa tal("positiva") som uppfyller att det multiplicerat med sig självt tre gånger ger talet.

Så det gäller generellt. Detta är en definition för att matematikens övergripande logik ska hålla ihop. Dels för funktionsläran.

Man vill att $y=\sqrt{x}, y=\sqrt[3]{x}, y=\sqrt[4]{x}$

ska kunna vara funktioner. En funktion kan inte för samma insatt x-värde generera flera olika y-värden, för då är det ingen funktion. Därför har man bestämt att man definierar dem enbart som att insatt värde på x endast ger den positiva roten.

En annan vettig anledning är att matematikens logik säger att om a=b och a=c, så måste också b=c

Så om vi skulle säga att $\sqrt[4]{16}=2$och att $\sqrt[4]{16}=-2$

då ger matematikens logik att även $-2=2$

och det vore helt orimligt. 

Tillägg: 29 nov 2022 14:11

Jag tar tillbaka påståendet om att roten ur/tredje roten ur negativa tal inte är definierat när jag jämfört detta med fler källor.

Nja, jag håller inte med Jonte här.

(–2) upphöjt till 3 är –8, så jag tycker det går utmärkt att kalla tredjeroten ur –8 för –2.

På samma sätt kan man säga att nionde roten ur –512 är –2.

Detta fungerar bra för reella tal. 

Men att tala om (2n-te) roten ut ett negativt tal hamnar vi utanför de reella talen, och benämningen “roten” är mindre lämplig.

Mogens skrev:

Nja, jag håller inte med Jonte här.

(–2) upphöjt till 3 är –8, så jag tycker det går utmärkt att kalla tredjeroten ur –8 för –2.

På samma sätt kan man säga att nionde roten ur –512 är –2.

Detta fungerar bra för reella tal. 

Men att tala om (2n-te) roten ut ett negativt tal hamnar vi utanför de reella talen, och benämningen “roten” är mindre lämplig.

Jag får nog backa på den punkten. Läste från en källa som nu visade sig vara felaktig när jag jämför med andra källor.

No offence taken. En lustig grej är att  man kan ta tredjeroten ur (–8) men att

(–8) upphöjt till en tredjedel kan krångla.

För det är ju lika med (–8) upphöjt till två sjättedelar som är [(–8)upphöjt till en sjättedel] upphöjt till 2.
Och (–8) upphöjt till en sjättedel är inte riktigt bekvämt att hantera :)

Samma slags skenbara problem kan man få om man skriver (-1)² som ((-1)^1/2)⁴.

Sådant skapar oreda när vi vill beräkna (ett negativt tal) upphöjt till (1/pi).