Roten ur 1

Bra fråga!

Det är helt enkelt definierat så.

Typ så här: "Roten ur ett (ickenegativt) tal a är det positiva tal, vars kvadrat är lika med a".

Ja, det är en definition som har visat sig vara användbar. Ett argument kan vara att det annars leder till orimligheter

Exempelvis detta: Talet 1 kan jag skriva som $\sqrt{1}$ och inget annat men om sedan  $\sqrt{1}$i sin tur kan vara lika både med 1 och -1 så leder det ju till att 1 också är lika med -1, vilket ej stämmer.

$1=\sqrt{1}=\pm 1 \leftrightarrow 1=-1$

Ett annat argument är att man vill att $y=\sqrt{x}$ska kunna vara en funktion. En funktion kan ha flera x-värden som ger samma y-värde men aldrig två y-värden som ges av samma x-värde som sätts in.

En sådan "funkion" skulle med definitionen av att $\sqrt{x}$kan vara både positiva tal och negativa tal då se ut så här och inte uppfylla kriterierna för en funktion.

I en bok "Matematiktermer för skolan", 2013, som jag lånade, vill de ha det till att "En kvadratrot ur a är en rot till ekvationen x² = a. Ett positivt tal har två kvadratrötter." Och "En kvadratrot ur ett tal a skrivs $\sqrt{a}$. [...] Om man vet att en viss rot måste vara positiv, så kan man (med försiktighet och efter att ha varskott om detta) låta $\sqrt{a}$ beteckna just denna rot." 

Det låter svåranvänt. Vad säger matematiklärarna här om detta?

Laguna skrev:

I en bok "Matematiktermer för skolan", 2013, som jag lånade, vill de ha det till att "En kvadratrot ur a är en rot till ekvationen x² = a. Ett positivt tal har två kvadratrötter." Och "En kvadratrot ur ett tal a skrivs $\sqrt{a}$. [...] Om man vet att en viss rot måste vara positiv, så kan man (med försiktighet och efter att ha varskott om detta) låta $\sqrt{a}$ beteckna just denna rot." 

Det låter svåranvänt. Vad säger matematiklärarna här om detta?

Helt fel. Kvadratroten ur ett positivt tal är ett positivt tal, punkt slut.

Som tidigare talare sagt, det är en definition. Däremot vill jag flika in med att en av de mest naturliga tillämpningarna av kvadrater: areor av kvadrater. Det är tänkt att kvadraten av en kvadrats längd ska vara lika med dess area, och vice versa att roten ur en area ska vara lika med areans sidors längd. Det vore märkligt att ha en area med sidorna -1. 

Det kan även tilläggas att detta troligtvis kan vara en fråga om tid också. Pythagoras arbetade med kvadreringar av tal (och han verkar inte ha varit först) femhundra år före kristus, medan de negativa talen började användas först några hundra år senare i Kina. 

Mycket intressant fråga, med många trevliga svar!