Rotekvation

Hej

jag skulle behöva hjälp med att förstå hur man ska lösa följande ekvation.

Lös ekvationen

$\sqrt{x - 2 - \sqrt{2 x - 5}} + \sqrt{x + 2 - 3 \sqrt{2 x - 5}} = 3 \sqrt{2}$

Först tänkte jag att man ska få bort parenteserna genom att kvadrera båda led. Då borde vi väl få $x - 2 - \sqrt{2 x - 5} + x + 2 - 3 \sqrt{2 x - 5} = 18$

Ska man sedan kvadrera igen för att få bort de två sista rottecknen?

Du måste använda första kvadreringsregeln när du kvadrerar summan av två termer i VL.

Du måste använda kvadreringsregeln. Börja med att sätta $t = \sqrt{2 x - 5}$ för att förenkla allting. Ekvationen kan då skrivas

$\sqrt{x - 2 - t} + \sqrt{x + 2 - 3 t} = 3 \sqrt{2} .$

Kvadreringsregeln ger

$x - 2 - t + 2 \sqrt{x - 2 - t} \cdot \sqrt{x + 2 - 3 t} + x + 2 - 3 t = 18$

och vidare att

$x - 2 t + \sqrt{(x - 2 - t) (x + 2 - 3 t)} = 9$ .

Här kan du flytta över $x - 2 t$ till HL och få

$\sqrt{(x - 2 - t) (x + 2 - 3 t)} = 9 - x + 2 t .$

Kan du fortsätta? Jag misstänker att du har råkat skriva 3:an framför $\sqrt{2 x - 5}$ i andra termen? Hade den inte funnits så hade konjugatregeln varit till hjälp. Det är en del steg kvar för att komma fram till lösningen, men det är bara och bita ihop.

hej, nej det ska vara en 3a framför rotenur2x-5 annars hade det nog blivit lättare

Idil M skrev :
hej, nej det ska vara en 3a framför rotenur2x-5 annars hade det nog blivit lättare

Okej, då är det bara och fortsätta på mitt inlägg och lösa ut x eller t.

jag fick det till att x=15 men jag vet inte om jag kom fram till det på det bästa sättet.

jag satte $(x - 2 - t) (x + 2 - 3 t) = (9 - x + 2 t) (9 - x + 2 t) \to (x - 2 - t) (x + 2 - 3 t) - (9 - x + 2 t) (9 - x + 2 t) = = \Rightarrow - t^{2} - 32 t + 18 x - 85 = 0 \Rightarrow^{2} + 32 t = 18 x - 85$

Sen löste jag ut t och fick $2 x - 5 + 32 (\sqrt{2 x - 5}) = 18 x - 85 \Rightarrow 1024 (2 x - 5) = {(16 x - 80)}^{2} \Rightarrow - 256 x^{2} + 4608 x - 11520 = 0$

sedan bröt jag ur x^2 termen och delade med -256 $\frac{- 256 (x - 15) (x - 3)}{- 256} = 0 \Rightarrow (x - 15) (x - 3) = 0$ så x är antingen 15 eller 3 och efter att jag provat båda talen såg jag att sätter jag in x=15 i ursprungsekvationen för jag svaret 3rotenur2

men som sagt ganska krånglig lösning så jag tänkte att det finns nog något enklare sätt att komma fram till svaret.

Ditt svar är rätt, men du tycks ha glömt att $t$ även har en till lösning eftersom det är en andragradsfunktion du löser. Fortsätter man från $t^{2} + 32 t = 18 x - 85$ och sätter $c = 18 x - 85$ så ger det

$t^{2} + 32 t - c = 0 \Leftrightarrow t_{1, 2} = \pm \sqrt{c + 256} - 16 \Leftrightarrow \{\begin{cases} t_{1} = & 3 \sqrt{2 x + 19} - 16 \\ t_{2} = & - 3 \sqrt{2 x + 19} - 16 \end{cases}$

Vid detta skede kan du sätta in ditt värde för $t$ . Detta ger de två ekvationerna

$\{\begin{cases} \sqrt{2 x - 5} = & 3 \sqrt{2 x + 19} - 16 \\ \sqrt{2 x - 5} = & - 3 \sqrt{2 x + 19} - 16 \end{cases}$

Nu måste du återigen kvadrera bägge led, och göra liknande operationer som tidigare. Du kommer finna att den översta ekvationen endast har en reell lösning $x = 15$ , medan den nedre ekvationen saknar reella rötter. Den enda reella roten till ekvationen är därmed $x = 15 .$

Svara

Visa senaste svar