Rotationsvolymer, koordinater till punkten P

Vad har du för övre integrationsgräns i integralen Vb?

Smaragdalena skrev:

Vad har du för övre integrationsgräns i integralen Vb?

 Satte b, som i Va.

Men inser att det lär bli fel eftersom de inte är likadana. Men om de inte är likadana så kan jag ej lösa ekvationen. 

Jodå, bara de hör ihop. Om x = b och $y=\sqrt{x}$, vad är då y?

Smaragdalena skrev:

Jodå, bara de hör ihop. Om x = b och $y=\sqrt{x}$, vad är då y?

 y måste då vara roten ur b.

Men något blir fel där.

Fredrikottenfelt skrev:

Smaragdalena skrev:

Vad har du för övre integrationsgräns i integralen Vb?

 Satte b, som i Va.

Men inser att det lär bli fel eftersom de inte är likadana. Men om de inte är likadana så kan jag ej lösa ekvationen. 

Lite rörigt blir det kanske då. Förslag:

Kalla punktens x-koordinat för $a$ och y-koordinaten för $b$, dvs $P=(a, b)$.

Beräkna sedan de två integralerna vilket ger $V_a$ uttryckt i $a$ och $V_b$ uttryckt i $b$.

$V_a=V_b$ ger då ett samband mellan $a$ och $b$.

Eftersom punkten $P$ ligger på kurvan så gäller sambandet $y=\sqrt{x}$ för punktens koordinater. Det ger dig ytterligare ett samband mellan $a$ och $b$.

Sedan är det en enkel sak att ta fram svaret.

Yngve skrev:

Fredrikottenfelt skrev:

Visa föregående citat

Smaragdalena skrev:

Vad har du för övre integrationsgräns i integralen Vb?

 Satte b, som i Va.

Men inser att det lär bli fel eftersom de inte är likadana. Men om de inte är likadana så kan jag ej lösa ekvationen. 

Lite rörigt blir det kanske då. Förslag:

Kalla punktens x-koordinat för $a$ och y-koordinaten för $b$, dvs $P=(a, b)$.

Beräkna sedan de två integralerna vilket ger $V_a$ uttryckt i $a$ och $V_b$ uttryckt i $b$.

$V_a=V_b$ ger då ett samband mellan $a$ och $b$.

Eftersom punkten $P$ ligger på kurvan så gäller sambandet $y=\sqrt{x}$ för punktens koordinater. Det ger dig ytterligare ett samband mellan $a$ och $b$.

Sedan är det en enkel sak att ta fram svaret.

 Antar att man gör ett ekvationssystem? 😎

Fredrikottenfelt skrev:

 Antar att man gör ett ekvationssystem? 😎

 Ja men det blir ett väldigt enkelt ekvationssystem. Du kommer troligtvis att direkt se hur du ska lösa det.

Yngve skrev:

Fredrikottenfelt skrev:

 Antar att man gör ett ekvationssystem? 😎

 Ja men det blir ett väldigt enkelt ekvationssystem. Du kommer troligtvis att direkt se hur du ska lösa det.

 Tack! Ska kolla på detta imorgon 👍

Kan ändå tänka mig i huvudet vad det ska bli. Men får inte riktigt ut det ännu.

Fredrikottenfelt skrev:

Kan ändå tänka mig i huvudet vad det ska bli. Men får inte riktigt ut det ännu.

Snyggt och prydligt fram till sambandet $5a^2=2b^5$. Men sen spårar det ur lite.

Eftersom sambandet $y=\sqrt{x}$ gäller för alla punkter på grafen så gäller det även för punkten $(a,b)$.

Det betyder att $b=\sqrt{a}$

Ditt ekvationssystem är alltså

$5a^2=2b^5$

$b=\sqrt{a}$

Kommer du vidare då?

Du vet att $V_a=\pi\frac{a^2}{2}$ och att $V_B=\pi\frac{b^5}{5}$ samt att $b=\sqrt{a}$ och att $V_a=V_B$.

Sätt ihop det så får du $\pi\frac{a^2}{2}=\pi\frac{(\sqrt{a})^5}{5}$, alltså $\pi\frac{a^2}{2}=\pi\frac{a^2\sqrt{a}}{5}$. Kommer du vidare härifrån?

Du måste ha skrivit av facit fel.

Fick ut a och b.

Men precis som Smaragdalena säger så säger facit tvärtom. Här är x-koordinaten b = 6.25, vilket i själva verket beräknades som en y-koordinat.

Om en rotation sker kring x-axeln så begränsas den ju av ett x-värde. Så facit borde ha blandat ihop dessa?

Fredrikottenfelt skrev:

Fick ut a och b.

Men precis som Smaragdalena säger så säger facit tvärtom. Här är x-koordinaten b = 6.25, vilket i själva verket beräknades som en y-koordinat.

Om en rotation sker kring x-axeln så begränsas den ju av ett x-värde. Så facit borde ha blandat ihop dessa?

Svaret ska vara P = (25/4; 5/2) = (6,25; 2,5).

Så det står fel i facit.