Rotationsvolymer: alltid roligt tills det är inte det längre 2

Hej Daja.

Du har slarvat med punkt 4 i checklistan ...

Hur ser din skiva ut egentligen, vad har den för radie? Vad har den för area?

Yngve skrev :

Enklare då att lära sig att integrera fram rotationsvolymer kring y-axeln.

Generellt avseende att integrera fram rotationsvolymer, oavsett om det gäller rotation kring x- eller kring y-axeln:

1. Rita figur, förstå vad de frågar efter.

2. Bestäm områdets gränser.

3. Välj integrationsmetod (skalmetoden/skivmetoden).

4. Finn ett uttryck för volymselementet dV.

5. Bestäm integrationsgränserna (från punkt 3).

6. Integrera.

7. Kontrollera/rimlighetsbedöm svaret.

8. Belöna dig själv för ett väl utfört arbete.

Ok, så vi roterar kring x axeln, radien är y^2, from noll till t:

$$\begin{gathered} dV=\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(2x-x^2{)}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(4x^2-4x^3+x^4)dx \\ \pi {\left[\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right]}_0^t =2ve \end{gathered}$$

och ekvation med noll kommer att försvinna.

Förlåt jag upptäcker inte slarvet!

Dessutom ber jag om ursäkt, jag har slarvat med att läsa noggrant punkt 3. Vad är skalmetoden?

Kortfattat går skalmetoden ut på följande:

Låt volymselementen utgöras av cylindriska skal runt rotationsaxeln. Varje skal har ett bestämt radiellt avstånd r från rotationsaxeln, en höjd h som kan bero av r, en omkrets 2pi*r och en infinitesimal tjocklek dr.

Volymselementet har alltså volymen 2pi*r*h(r)dr och integrationen sker i radiell led från en inre radie r1 till en yttre radie r2.

Sök på Youtube för exempel.

Din andra uppgift där du ska rotera y = ln(x) runt y-axeln lämpar sig bra för skalmetoden. Då kan du uttrycka volymen direkt och du slipper subtrahera en integral från en cylinder.

Yngve skrev :

Kortfattat går skalmetoden ut på följande:

Låt volymselementen utgöras av cylindriska skal runt rotationsaxeln. Varje skal har ett bestämt radiellt avstånd r från rotationsaxeln, en höjd h som kan bero av r, en omkrets 2pi*r och en infinitesimal tjocklek dr.

Volymselementet har alltså volymen 2pi*r*h(r)dr och integrationen sker i radiell led från en inre radie r1 till en yttre radie r2.

Sök på Youtube för exempel.

 

Din andra uppgift där du ska rotera y = ln(x) runt y-axeln lämpar sig bra för skalmetoden. Då kan du uttrycka volymen direkt och du slipper subtrahera en integral från en cylinder.

Superbra! Förstår inte varför vi behöver diskmaskin metoden? Jag återkommer till den andra uppgift när jag har läst alla tråd :)

Lämpar sig den här övning också?

$2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{t}}\mathrm{y}*\mathrm{x} \mathrm{dx} \to 2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{t}}(2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2)*\mathrm{x} \mathrm{dx} \to 2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{t}}(2{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^3)$....

Hmmm raka vägen till fjarde grad ekvation, hur ska man göra!

Lämpar sig den här övning också?

$2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{t}}\mathrm{y}*\mathrm{x} \mathrm{dx} \to 2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{t}}(2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2)*\mathrm{x} \mathrm{dx} \to 2\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{t}}(2{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^3)$....

Hmmm raka vägen till fjarde grad ekvation, hur ska man göra!

Jag vet inte var du har fått uttrycket ifrån, och jag förstår inte din fråga om vad som lämpar sig för vad.

Integralen i sig är en  vanlig integral av ett polynom så det är ju bara att integrera term för term.

Och jag kommer att få en fjärde grad ekvation. Hur får jag ut t?

Jaha, nu förstår jag.

Om du ska använda skalmetoden på denna uppgift så blir det inte så som du har räknat. Området roterar kring x-axeln, så den radiella riktningen är från x-axeln och utåt. Du skall alltså integrera r från 0 till ymax, som är (2t - t^2).

Även integranden blir krånglig. 

Det är bättre att använda skivmetoden i detta fallet.

Och det är därför vi både behöver skalkniv och diskmaskin :-)

Det står i uppgiften: "Bestäm talet t med två decimaler." Det tyder på att man inte kan få fram ett exakt värde, utan skall ta fram ett närmevärde numeriskt.

smaragdalena skrev :

Det står i uppgiften: "Bestäm talet t med två decimaler." Det tyder på att man inte kan få fram ett exakt värde, utan skall ta fram ett närmevärde numeriskt.

What, är det det som var kneppet?? Bara rita och artisanalt öka integralen tills man komma upp till rätt arean?

.. Och vad kan rätt arean vara? Volym beräkningen är $\mathrm{\pi }{\int }_0^t{\mathrm{y}}^2\mathrm{dx}$, så kan det borde vara något som $\sqrt{\frac{2}{\mathrm{\pi }}}$?

Så här skrev du igår:

Daja skrev :

Ok, så vi roterar kring x axeln, radien är y^2, from noll till t:

$$\begin{gathered} dV=\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(2x-x^2{)}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(4x^2-4x^3+x^4)dx \\ \pi {\left[\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right]}_0^t =2ve \end{gathered}$$

Egentligen så är $dV = \pi y^2 dx$, men integralen är precis som du har skrivit.

Om du stoppar in integrationsgränserna 0 och t i ditt uttryck på andra raden, försvinner alla x och du har ett uttryck som bara beror på t. Lös ekvationen $\frac{4t^3}{3} - t^4 + \frac{t^5}{5} = \frac{2}{\mathrm{\pi }}$ numeriskt med två decimaler, så är du klar. Ditt värde måste ligga mellan 0 och 2, annars har du gjort fel på något sätt.

smaragdalena skrev :

Så här skrev du igår:

Daja skrev :

Ok, så vi roterar kring x axeln, radien är y^2, from noll till t:

$$\begin{gathered} dV=\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(2x-x^2{)}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(4x^2-4x^3+x^4)dx \\ \pi {\left[\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right]}_0^t =2ve \end{gathered}$$

Egentligen så är $dV = \pi y^2 dx$, men integralen är precis som du har skrivit.

Om du stoppar in integrationsgränserna 0 och t i ditt uttryck på andra raden, försvinner alla x och du har ett uttryck som bara beror på t. Lös ekvationen $\frac{4t^3}{3} - t^4 + \frac{t^5}{5} = \frac{2}{\mathrm{\pi }}$ numeriskt med två decimaler, så är du klar. Ditt värde måste ligga mellan 0 och 2, annars har du gjort fel på något sätt.

1,10... (gud vad jobbigt det var, tack!)

Varje gång jag ser nu ''bestäm med decimaler'', tyder det att jag kan skriva det i miniräknare bara?

smaragdalena skrev :

Så här skrev du igår:

Daja skrev :

Ok, så vi roterar kring x axeln, radien är y^2, from noll till t:

$$\begin{gathered} dV=\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(2x-x^2{)}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(4x^2-4x^3+x^4)dx \\ \pi {\left[\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right]}_0^t =2ve \end{gathered}$$

Egentligen så är $dV = \pi y^2 dx$, men integralen är precis som du har skrivit.

Om du stoppar in integrationsgränserna 0 och t i ditt uttryck på andra raden, försvinner alla x och du har ett uttryck som bara beror på t. Lös ekvationen $\frac{4t^3}{3} - t^4 + \frac{t^5}{5} = \frac{2}{\mathrm{\pi }}$ numeriskt med två decimaler, så är du klar. Ditt värde måste ligga mellan 0 och 2, annars har du gjort fel på något sätt.

Jag håller på repetera och förstår inte vad det är som jag gör fel.

Ser ni något konstigt? 

Jag får bilden:

Daja skrev :

smaragdalena skrev :

Så här skrev du igår:

Visa föregående citat

Daja skrev :

Ok, så vi roterar kring x axeln, radien är y^2, from noll till t:

$$\begin{gathered} dV=\pi {\int }_0^t{y}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(2x-x^2{)}^{2}dx \to \pi {\int }_0^t(4x^2-4x^3+x^4)dx \\ \pi {\left[\frac{4x^3}{3}-x^4+\frac{x^5}{5}\right]}_0^t =2ve \end{gathered}$$

Egentligen så är $dV = \pi y^2 dx$, men integralen är precis som du har skrivit.

Om du stoppar in integrationsgränserna 0 och t i ditt uttryck på andra raden, försvinner alla x och du har ett uttryck som bara beror på t. Lös ekvationen $\frac{4t^3}{3} - t^4 + \frac{t^5}{5} = \frac{2}{\mathrm{\pi }}$ numeriskt med två decimaler, så är du klar. Ditt värde måste ligga mellan 0 och 2, annars har du gjort fel på något sätt.

Jag håller på repetera och förstår inte vad det är som jag gör fel.

Ser ni något konstigt? 

Jag får bilden:

Det ska vara $+ \frac{x^5}{5}$, men du har skrivit $- \frac{x^5}{5}$.

Tack så mycket!  Jag är så sjukt stressad att jag missade den...  Trots att jag kollade massor med gånger :(