Rotationsvolymer
Hej, jag har problem med en uppgift eftersom jag inte kan avgöra gränsvärdena då en figur roterar kring y-axeln.
Till en början tänkte jag beräkna den totala volymen av den bildade volymen alltså:
b=9 och a=0, gör därefter om funktionen av y till en funktion av x = (x=(9-y)^0,5)
Men det är här jag fastnar, jag förstår inte hur jag skall få ut volymen på det begränsade området. Jag tänker på följande sätt, om jag väljer gränsvärdena b=8 och a=0 borde den roterande figuren avgränsas så att hela volymen för området (x-axeln 0-1)(y-axeln 0-8) vilket inte hjälper mig...
Ska jag beräkna rotationsintegralen för b=8 och a=0 och sedan subtrahera den volym som uppstår "i mitten av figuren"...
Hur löser jag denna uppgift?
Du skriver inte vad a och b avser.
Du kan beräkna volymen med skalmetoden eller skivmetoden.
Vilken av dem är du mest bekväm med?
Om du väljer skivmetoden så kan du antingen beräkna hela volymen under kurvan från origo och utåt och sedan subtrahera den volym som är i mitten.
Eller så kan du beskriva att varje skiva har ett hål i mitten, alltså en inre och en yttre radie. Då kan du sätta upp en integrals som tar frm.voöymen i en beräkning.
Jag skulle nog ha valt skalmetoden här istället.
Visa dina försök så kan vi hjälpa dig att hitta va det går snett.
Yngve skrev :Du skriver inte vad a och b avser.
Du kan beräkna volymen med skalmetoden eller skivmetoden.
Vilken av dem är du mest bekväm med?
Om du väljer skivmetoden så kan du antingen beräkna hela volymen under kurvan från origo och utåt och sedan subtrahera den volym som är i mitten.
Eller så kan du beskriva att varje skiva har ett hål i mitten, alltså en inre och en yttre radie. Då kan du sätta upp en integrals som tar frm.voöymen i en beräkning.
Jag skulle nog ha valt skalmetoden här istället.
Visa dina försök så kan vi hjälpa dig att hitta va det går snett.
Hej!
Jag kan beräkna hela volymen m.h.a skivmetoden. Men det är subtraktionen som går åt pipan för jag vet inte riktigt hur jag skall ställa upp det jag ska subtrahera med?
Vhela-Vickeskuggat=Vskuggat
Formeln för Vickeskuggat?
Som sagt skalmetoden är enklare men:
Vickeskuggat = Vcylinder (blå) + Vtoppen (röd)
Yngve skrev :Som sagt skalmetoden är enklare men:
Vickeskuggat = Vcylinder (blå) + Vtoppen (röd)
Okej, så jag ska alltså dela upp det du ritat i två delar? (Cylinderdelen alltså pi*1*8)+(Rotationsvolymen med gränserna b=9 a=8)? Krångligt värre...
Vad finns det för fördelar med att använda skalmetoden? Hur fungerar den varianten?
Tack så mycket för svar!
DrCheng skrev :
Okej, så jag ska alltså dela upp det du ritat i två delar? (Cylinderdelen alltså pi*1*8)+(Rotationsvolymen med gränserna b=9 a=8)? Krångligt värre...
Ja just det.
Vad finns det för fördelar med att använda skalmetoden? Hur fungerar den varianten?
Tack så mycket för svar!
I detta fallet passar skalmetoden bra, efersom du med hjälp av den kan beräkna den skuggade volymen direkt med hjälp av endast en enkel integral.
Kortfattat går skalmetoden ut på följande:
Låt volymelementen utgöras av cylindriska skal runt rotationsaxeln. Varje skal har ett bestämt radiellt avstånd r från rotationsaxeln, en höjd h som kan bero av r, en omkrets 2pi*r och en infinitesimal tjocklek dr.
Volymelementet har alltså volymen 2pi*r*h(r)dr, dvs "omkrets*höjd*tjocklek", och integrationen sker i radiell led från en inre radie r1 till en yttre radie r2.
Sök på Youtube för exempel.
I ditt fall med området så har du att inre radien är 1, yttre radien är 3, höjden på ett cylindriskt skal på avstånd r från rotationsaxeln är 9 - r^2, så ditt volymelement dV blir 2pi*r*(9-r^2)dr.
Integrera detta från inre radien r = 1 till yttre radien r = 3.
Du kan förstås använda x som integrationsvariabel istället, det blir precis samma uträkning.
Det viktiga är att du har geometrin klart för dig.
Yngve skrev :DrCheng skrev :
Okej, så jag ska alltså dela upp det du ritat i två delar? (Cylinderdelen alltså pi*1*8)+(Rotationsvolymen med gränserna b=9 a=8)? Krångligt värre...Ja just det.
Vad finns det för fördelar med att använda skalmetoden? Hur fungerar den varianten?
Tack så mycket för svar!
I detta fallet passar skalmetoden bra, efersom du med hjälp av den kan beräkna den skuggade volymen direkt med hjälp av endast en enkel integral.
Kortfattat går skalmetoden ut på följande:
Låt volymelementen utgöras av cylindriska skal runt rotationsaxeln. Varje skal har ett bestämt radiellt avstånd r från rotationsaxeln, en höjd h som kan bero av r, en omkrets 2pi*r och en infinitesimal tjocklek dr.
Volymelementet har alltså volymen 2pi*r*h(r)dr, dvs "omkrets*höjd*tjocklek", och integrationen sker i radiell led från en inre radie r1 till en yttre radie r2.
Sök på Youtube för exempel.
I ditt fall med området så har du att inre radien är 1, yttre radien är 3, höjden på ett cylindriskt skal på avstånd r från rotationsaxeln är 9 - r^2, så ditt volymelement dV blir 2pi*r*(9-r^2)dr.
Integrera detta från inre radien r = 1 till yttre radien r = 3.
Du kan förstås använda x som integrationsvariabel istället, det blir precis samma uträkning.
Det viktiga är att du har geometrin klart för dig.
Stort TACK för hjälpen!
