Rotationsvolymer

angelicamaja skrev:

En betongplint ska tillverkas i form av en del av kurvan y=1/x roterar runt x-axeln. 

Betongsplattans diameter för botten = 1 meter

Betongsplattans diameter för toppen =0,5 meter

1 l.e. = 1 meter i koordinatsystemet

Kostnaden för betongen är 1200 kr/m³

Hur stor blir materialkostnaden? 

 

Vet att jag ska använda $V = {\int }_a^{b}A\left(x\right) dx$, men kommer inte vidare? hur kan jag veta integrationsgränsen? 

Undre integrationsgränsen är där diametern blir 1 meter.

Övre integrationsgränsen är där diametern blir 0.5 meter.

Yngve skrev:

angelicamaja skrev:

En betongplint ska tillverkas i form av en del av kurvan y=1/x roterar runt x-axeln. 

Betongsplattans diameter för botten = 1 meter

Betongsplattans diameter för toppen =0,5 meter

1 l.e. = 1 meter i koordinatsystemet

Kostnaden för betongen är 1200 kr/m³

Hur stor blir materialkostnaden? 

 

Vet att jag ska använda $V = {\int }_a^{b}A\left(x\right) dx$, men kommer inte vidare? hur kan jag veta integrationsgränsen? 

Undre integrationsgränsen är där diametern blir 1 meter.

Övre integrationsgränsen är där diametern blir 0.5 meter.

Är det något jag måste räkna ut eller blir det helt enkelt : $V={\int }_1^{0,5}$

angelicamaja skrev:

Är det något jag måste räkna ut eller blir det helt enkelt : $V={\int }_1^{0,5}$

Nej du måste räkna ut dem.

Jag har markerat de två radierna som efterfrågas.

• Vad har x för värde då $r_1=1$? Det är din undre gräns.
• Vad har x för värde då $r_2=0,5$? Det är din övre gräns.

Du undrar om integrationsgränserna, och de är x-värden. Diametrarna som är givna för ändarna av plinten är y-värden. Kan du räkna ut motsvarande x? Att använda y-värdena som integrationsgränser för x är inte rätt.

Laguna skrev:

Du undrar om integrationsgränserna, och de är x-värden. Diametrarna som är givna för ändarna av plinten är y-värden. Kan du räkna ut motsvarande x? Att använda y-värdena som integrationsgränser för x är inte rätt.

Ja förlåt, jag läste fel. Det är diametrarna ($d_1$ och $d_2$) och inte radierna som ska vara 1 respektive 0,5.

• Din undre integrationsgräns är det värde på x som gör att $d_1=1$.
• Din övre integrationsgräns är det värde på x som gör att $d_2=0,5$.

Yngve skrev:

Laguna skrev:

Du undrar om integrationsgränserna, och de är x-värden. Diametrarna som är givna för ändarna av plinten är y-värden. Kan du räkna ut motsvarande x? Att använda y-värdena som integrationsgränser för x är inte rätt.

Ja förlåt, jag läste fel. Det är diametrarna ($d_1$ och $d_2$) och inte radierna som ska vara 1 respektive 0,5.

• Din undre integrationsgräns är det värde på x som gör att $d_1=1$.
• Din övre integrationsgräns är det värde på x som gör att $d_2=0,5$.

Stämmer det då att min undre integrationsgräns är 1 eftersom att $1=\frac{1}{x}$ger x=1 och min övre integrationsgräns är 2 eftersom att $0,5=\frac{1}{x}$

Tar jag sedan och räknar ut den primitiva funktionen av $y=\frac{1}{x}$

därefter skriver ${\int }_1^2$och beräknar integralen? 

Jag tror att du ska sätta in  radien  som y i ekvationen y=1/x för att få fram värdena på X, radien blir i ditt fall 0.25 och 0.5

0,25=1/x  => x=4

0,5=1/x  => x=2

${\int }_2^4$

tajmahal skrev:

Jag tror att du ska sätta in  radien  som y i ekvationen y=1/x för att få fram värdena på X, radien blir i ditt fall 0.25 och 0.5

0,25=1/x  => x=4

0,5=1/x  => x=2

${\int }_2^4$

Okej! Men varför radien istället för diametern? 

Hur går jag vidare efter det? ska jag räkna ut den primitiva funktionen av $y=\frac{1}{x}$?

angelicamaja skrev:

Okej! Men varför radien istället för diametern? 

Hur går jag vidare efter det? ska jag räkna ut den primitiva funktionen av $y=\frac{1}{x}$?

Det är viktigt att du förstår detta, annars kommer du att få problem med framtida uppgifter.

1. Är du med på att radien motsvaras av de röda pilarna och att diametern motsvaras av de blåa pilarna?
2. Är du med på att den heldragna kurvans höjd ovanför x-axeln motsvarar en röd pil, dvs radien?
3. Är du med på att den heldragna kurvan ovanför x-axeln är y = 1/x?

I så fall borde du vara med på att radien vid ett visst värde på x är lika med 1/x och att diametern därför är lika med 2/x.

Yngve skrev:

angelicamaja skrev:

Okej! Men varför radien istället för diametern? 

Hur går jag vidare efter det? ska jag räkna ut den primitiva funktionen av $y=\frac{1}{x}$?

Det är viktigt att du förstår detta, annars kommer du att få problem med framtida uppgifter.

1. Är du med på att radien motsvaras av de röda pilarna och att diametern motsvaras av de blåa pilarna?
2. Är du med på att den heldragna kurvans höjd ovanför x-axeln motsvarar en röd pil, dvs radien?
3. Är du med på att den heldragna kurvan ovanför x-axeln är y = 1/x?

I så fall borde du vara med på att radien vid ett visst värde på x är lika med 1/x och att diametern därför är lika med 2/x.

Jamen precis, det är jag som är förvirrad. 

Men nu tar jag ${\int }_2^4\left(\frac{1}{x}\right) dx = \left[\ln x+C\right]= \ln 4 -( \ln 2) = 0,6931$m³

Materialkostnaden blir därför 1200x0,6931=831,74 kr?

angelicamaja skrev:

Jamen precis, det är jag som är förvirrad. 

Men nu tar jag ${\int }_2^4\left(\frac{1}{x}\right) dx = \left[\ln x+C\right]= \ln 4 -( \ln 2) = 0,6931$m³

Materialkostnaden blir därför 1200x0,6931=831,74 kr?

Nu stämmer integrationsgränserna men inte integranden (uttrycket som du integrerar).

I ditt första inlägg skrev du att du skulle integrera A(x). Vet du vad A(x) är och hur du tar fram det uttrycket?

Yngve skrev:

angelicamaja skrev:

Jamen precis, det är jag som är förvirrad. 

Men nu tar jag ${\int }_2^4\left(\frac{1}{x}\right) dx = \left[\ln x+C\right]= \ln 4 -( \ln 2) = 0,6931$m³

Materialkostnaden blir därför 1200x0,6931=831,74 kr?

Nu stämmer integrationsgränserna men inte integranden (uttrycket som du integrerar).

I ditt första inlägg skrev du att du skulle integrera A(x). Vet du vad A(x) är och hur du tar fram det uttrycket?

A(x) = tvärsnittsarean vinkelrätt mot x-axeln. Eftersom att den roterar runt x-axeln blir det $V={\int }_a^b\mathrm{\pi }{y}^{2 }dx$?

får jag då $v={\int }_2^4\mathrm{\pi }{\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{dx}$?

angelicamaja skrev:

A(x) = tvärsnittsarean vinkelrätt mot x-axeln. Eftersom att den roterar runt x-axeln blir det $V={\int }_a^b\mathrm{\pi }{y}^{2 }dx$?

får jag då $v={\int }_2^4\mathrm{\pi }{\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{dx}$?

Ja det stämmer.

Yngve skrev:

angelicamaja skrev:

A(x) = tvärsnittsarean vinkelrätt mot x-axeln. Eftersom att den roterar runt x-axeln blir det $V={\int }_a^b\mathrm{\pi }{y}^{2 }dx$?

får jag då $v={\int }_2^4\mathrm{\pi }{\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{dx}$?

Ja det stämmer.

Jag skriver in det på miniräknaren och får 0,7854 m³

1200x0,7854=942,48 kr per plint?

Kan det stämma? 

angelicamaja skrev:

Yngve skrev:

Visa föregående citat

angelicamaja skrev:

Visa föregående citat

A(x) = tvärsnittsarean vinkelrätt mot x-axeln. Eftersom att den roterar runt x-axeln blir det $V={\int }_a^b\mathrm{\pi }{y}^{2 }dx$?

får jag då $v={\int }_2^4\mathrm{\pi }{\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)}^2\mathrm{dx}$?

Ja det stämmer.

Jag skriver in det på miniräknaren och får 0,7854 m³

1200x0,7854=942,48 kr per plint?

Kan det stämma? 

Ja, men det är inte rimligt att ange kostnaden ner på den nivån.

Du bör avrunda till 940 kronor.