Rotationsvolymer

Ursula2 skrev :

Kurvan $y=x^2-1$ innesluter i 4:e kvadranten ett område tillsammans med koordinataxlarna. Beräkna den volym som uppstår då detta område roterar kring y-axeln. 

Jag börjar med att rita upp kurvan och ser att skärningspunkterna är (-1,0) och (1,0) samt minimipunkten är (0,-1)

Rotationen sker kring y-axeln så jag gör om uttrycket så det beror av x. 

$x=\sqrt{y}+1$

en skiva kan uttryckas som $\mathrm{\pi }*{\left(\mathrm{y}+1\right)}^2$

Jag vet att integralen ska ha värdena -1 och 0. 

Har kört fast här. 

Du tänker rätt men räknar lite fel.

Skivans radie är $x = \sqrt{y+1}$

Det betyder att en skivas area är $\pi x^{2 }= \pi (y+1)$

Skivans tjocklek är $dy$

Vad har då en skiva för volym?

Och vad är integrationsgränserna?

Fundera gärna över att följande två matematiska uttryck båda beskriver en summa av volymer

$$\begin{gathered} \sum _{}^{}\Delta V \\ \int dV \end{gathered}$$

Volymen $dV$ är dock vanligtvis oändligt mycket mindre än $\Delta V$
I denna uppgift har vi
Volym=Area*Höjd=$\pi x^{2}dy$