Rotationsvolym, rotation kring y-axeln

Hej!

Har försökt lösa följande uppgift under 3-4 dagar och hittar inga liknande exempel i calculusboken eller på nätet som kan hjälpa mig.

UPPGIFT
Hitta arean som bildas mellan $y = x^{2} + 2 x - 4$ och g = 2x-3 på vänstra sidan om y-axeln, och beräkna volymen då området roteras kring y-axeln.

Försök till lösning
Först satte jag funktionerna mot varandra och fick ut skärningspunkterna. Sedan plottade jag funktionerna. Fyllde i arean till vänster om y-axeln och där efter roterade den. Tolkning av den färdiga figuren som bildas är på bilden nedan.
Jag vet att vid rotation av y-axeln görs beräkning med aspekt av "y" och därför skrev jag integral begränsningen i "y-värden". Då y(-1) = -5 och då g(0)=-3 vilket ger området för vår area. Jag förstår även att vi delar upp och beräknar en "disc" av området och att vi därför använder radien, pi, och tjockleken dy samt området från -5 --> -3 för att beräkna hela volymen.
Hur jag beräknar radien "x" är vad jag inte förstår. Gäller vid rotation kring y-axel, samma som för rotation kring x-axel, att det finns en "yttre och inre funktion"? Är radien "x" den yttre funktionen FAST med aspekt på "y", alltså y= Yttre funktion = 2x-3. --> och därmed RADIEN= x= Y/2 +3 ?.

När jag väl har radien är formeln likt följande då sen för att lösa uppgiften?
$v o l y m e n = π \int_{- 5}^{- 3} r a d i e^{2} d y$
Ignorera formeln jag skrivit bredvid figuren.

Hej och välkommen till Pluggakuten!

Jag skulle nog välja skalmetoden med koncentriska skal runt y-axeln istället för skivmetoden på detta problem.

Varje skal har en radie $r=x$ och därmed en omkrets $O (x) = 2 πx$ .

Skalens höjd beror av x enligt $h (x) = (2 x - 3) - (x^{2} + 2 x - 4) = 1 - x^{2}$ .

Varje skal har en area $A (x) = O (x) \cdot h (x) = 2 πx (1 - x^{2})$ .

Med tjocklek $dx$ ger varje skal ett volymbidrag $d V = A (x) d x = 2 πx (1 - x^{2}) dx$ .

Detta kan integreras från $x=0$ till $x=1$ för att ge totalvolymen.

Hej och tack så mycket för hjälpen! Jag hänger med precis i allt du beskrev, förutom i slutet gällande integration från x=0 till x=1 för att få totalvolymen.

Om vi nu mha skal-metoden integrerar med aspekt på "x-värden", borde inte integrationen för hela slutliga volymen, efter rotation, bli $\int_{- 1}^{1}$ , eller skrivet på ett annat sätt: $2 \int_{0}^{1}$ . Om vi integrerar från enbart $\int_{0}^{1}$ får vi väll bara halva volymen?

tennisbossen skrev :
Hej och tack så mycket för hjälpen! Jag hänger med precis i allt du beskrev, förutom i slutet gällande integration från x=0 till x=1 för att få totalvolymen.

Om vi nu mha skal-metoden integrerar med aspekt på "x-värden", borde inte integrationen för hela slutliga volymen, efter rotation, bli $\int_{- 1}^{1}$ , eller skrivet på ett annat sätt: $2 \int_{0}^{1}$ . Om vi integrerar från enbart $\int_{0}^{1}$ får vi väll bara halva volymen?

Hej. Vad bra att du hänger med. Skalmetoden är inte lika känd som skivmetoden.

Men nej, det blir hela volymen.

Du integrerar egentligen längs med radien r. Jag kallar den x men det vore nog bättre att kalla den r.

Det innersta skalet har radien 0 och det yttersta skalet har radien 1. Alltså från x = 0 till x = 1.

Byt gärna ut alla x mot r så blir det tydligare.

Svara

Visa senaste svar