Rotationsvolym och integral

Det ser rätt ut så långt. Vilken volym har en skiva med tjockleken $\Delta y$?

$V={\int }_a^{b}dV$Vilka integrationsgränser ska du använda?

kommer inte längre.. blir förvirrad typ av vad det är som ändras. Både X och f(x) förändras ju, då man går upp och ner på funktionen.. behöver nog hjälp att få lite klarhet samt hur jag kommer vidare.. är så tacksam för all hjälp.

Jag hade behållit det uttryck på arean du hade: varje tvärsnitt har arean $\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2$. Sen multiplicerar vi den tvärsnittsarean med dy för att få ett volymelement att integrera. Integralen beräknar volymen mha horisontella snitt genom tältet, från lägsta till största y-värde, och lägger ihop alla tunna volymtillägg som bildas.

Men vi kan inte sätta största y-värdet som y, då är det samma som integrationsvariabeln och det blir knas. Kalla tältets höjd t.ex. h istället, vilket alltså är största möjliga y-värde, så integralen blir:

$\displaystyle\int_0^h \frac{3\sqrt{3}}{2}x^2 dy = \frac{3\sqrt{3}}{2}\int_0^h x^2 dy$

Konstanter kan ju flyttas ut, så nu ser integralen lite prydligare ut. Problemet nu är att integranden använder x, och vi ska integrera med avseende på y. Vi behöver därför byta ut $x^2$ till ett uttryck som använder y. Kan du med hjälp av figuren hitta en ekvation som "kopplar ihop" x med y, så vi kan byta bort vårt x²?

Nu har du ett annat uttryck för arean. nedre integrationsgräns är 0 och övre x. Se figuren i uppgiften.

(Nu förstår jag en tidigare uppgift, där de inte hade med ens hälften av informationen som man (i alla fall jag) behövde för att förstå hur tältet såg ut.)

Nu fattar jag ingenting, haha.

Är du med på integralen jag ställde upp? Den är samma som den du har, fast med en annan övre gräns.

Jo, det förstod jag. Men sedan skrev Bo-Erik någonting annat, hmm. & jag hittar inget samband. Har det kanske med cirkelns ekvation att göra? Dock vet jag inte hur jag kommer vidare.

Jag blir lite förvirrad själv - jag tycker h är ett bättre namn på det största y-värdet, x blir skumt.

Cirkelns ekvation är en toppenidé. Längs den halvcirkel som begränsar tältet gäller att $x^2 + y^2 = h^2$, och den innebär att $x^2 = h^2 - y^2$. Fint, det var precis vad vi behövde - ett uttryck för $x^2$ som använder y istället. Och h, men det är en konstant. Bara sånt som varierar under integrationen behöver uttryckas med hjälp av y, och det har vi gjort nu när vi byter ut x²:

$\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\displaystyle\int_0^h (h^2 - y^2)dy$

Kommer du vidare med den?

Jag förstår inte vad h som är konstant är? Vad ska jag stpppa in där? 

h är tältets höjd. Den är inte given i uppgiften, så integralen kommer ge en volymformel som använder tälthöjden som variabel.

Och nej, 1.5 m³ och 2.0 m³ är volymer. När du väl har volymformeln kan du använda dessa för att räkna ut vilka tälthöjder som de motsvarar.

Hej, Jag har tittat på integralen ovan och förstår inte vad som ska stoppas in i y (h² - y²)?

hjälpmig1234 skrev:

Hej, Jag har tittat på integralen ovan och förstår inte vad som ska stoppas in i y (h² - y²)?

Gör en egen tråd där du visar hur långt just DU har kommit, så är det lättare för oss att hjälpa dig.

Hej!

Jag har också kommit till att använda cirkelnsekvation som en formel för att beräkna x2. Vad händer sedan? Jag har också beräknat arean för den basytan som är en sexhörning.  Ska man derivera då x²-y²och sedan beräkna integralen ? Hur ska man beräkna den då?