Rotationsvolym kring y-axeln
Hej! Jag skulle behöva hjälp med följande uppgift:
En yta i första kvadranten begränsas av y=e^x, x=1 och x‑axeln. Hur stor blir volymen som bildas när denna yta roterar runt y‑axeln? Svara exakt.
Jag började med att räkna ut att x=lny. Sedan räknade jag ut att y=e^x skär x=1 när y=e. Denna information satte jag i en integral mellan e och 0 där jag integrerade pi*(lny)^2. Då fick jag svaret pi-pi*ln0 vilket är fel. Hur ska jag göra? Tack på förhand!
Som vanligt är det bra att rita en figur så ser du var du gör. Börja med det och visa hur du tänker så kan vi hjälpa dig vidare.
Här är en bild jag ritade i desmos där man ser att a=e och b=0 för gränserna i y-led. Sedan roterar den runt y-axeln vilket innebär att radien blir lny och arean av en skiva är pi*r^2=pi*(lny)^2. Det ska man väl sätta i integralen?
Du kan lösa den på många olika sätt, ditt sätt räknar i bästa fall ut den del som INTE ska va med i rotationsvolymen men du kan enkelt räkna ut cylinder som bildas om x=1 roterar runt z-axeln vilken höjd är e (som du räknat ut) och sen dra din volym från den.
Ett annat är att rita en tunn skiva (dx tjock) från x-axeln upp till y=ex och rotera den runt y-axeln som ger dig en volym på det röret som är
Den kan du sen rätt enkelt integrera mellan 0 och 1
Är du med på det?
Det finns andra sätt också om du är intresserad.
Du bör rita en ungefär sådan här figur också, så att man kan se hur kroppen ser ut.
Och om jag får komplettera; Om du räknar ut den delen som inte skall vara med (integralen y y-led av ln(y) så ska gränserna vara 1 och e annars får du med den negativa sidan mellan Y=0-1 också
Aha okej, tack till er båda! Ska prova det och säger till om jag fastnar igen!
