Rotationsvolym: Hur lång tid tar det att fylla dammen?
Hej,
Har stött på denna fråga om rotationsvolym från ett gammalt NP:
Viktig information:
Uppgiften kan delas in i följande:
1. Beräkna dammens volym
2. Beräkna tiden det tar att fylla dammen
Jag hade inga konstigheter med att beräkna den andra delen av frågan. Däremot förstår jag inte riktigt den första delen gällande rotationsvolym. Jag tänker så här:
Volymen av dammen då denna roterar kring y axeln =
∫30π*62
Integrerar man detta och löser ekvationen får man att volymen är 54*pi dm^3, vilket stämmer. Men enligt facit ska det finnas ett mycket enklare sätt.
Tydligen räcker det med att följande:
VARFÖR fungerar detta?. Om vi gör på så vis kommer väl inte det färgade området att räknas med utan enbart grafen under funktionen.
Tack på förhand!
Dammens volym beror ju inte av hur fort vattnet rinner in, så u(t) kan vi spara.
Om jag förstår rätt har du först räknat ut volymen av en stor cylinder och sedan dragit bort det av cylindern som är betongen under vattnet.
Enklare är väl att gå rakt på vattenkroppen.
kurvan är 12y = x2
Välj ett värde på x. Gå rakt upp från x-axeln till kurvan. På den höjden kan vi tänka oss en horisontell cirkelskiva med radie x och höjd dy. Den skivan har alltså volym pi x2 dy.
Nu byter vi x2 mot 12y. Cirkelskivan har volym pi 12y dy. Låter vi y gå från 0 till 3 har vi ett lager av skivor över varandra som är lika med dammens volym. Det ger integralen som fanns i bokens lösning.
Tror inte riktigt jag förstår. Du menar alltså att då funktionen roterar kring y- axeln kommer inte området under grafen att räknas med? Då är det alltså onödigt att göra på mitt sätt?
RÄTTAD
Nu kollade jag litet noggrannare.
Det visar sig att dammen är precis hälften av den stora cylindern du började med att beräkna.
Du har räknat ut Cylinder minus Damm = 108pi – 54pi = 54pi dvs volymen av betongen under vattenkroppen. Med ditt sätt ska du först räkna ut cylindern (108pi) och sedan ta integralen 0 till 3 av pi 62 – pi (roten ur 12y)2. Den integralen blir snällt 54pi.
Sedan får du sökt dammvolym, alltså 108pi – (108pi – 54pi) = 54pi. Litet omväg.
Anonym_15 skrev:Tror inte riktigt jag förstår. Du menar alltså att då funktionen roterar kring y- axeln kommer inte området under grafen att räknas med? Då är det alltså onödigt att göra på mitt sätt?
Just så. Du har gjort en omväg. Men jag måste kolla min egen uträkning det är något som inte stämmer i #4
Kolla #4 nu, den ska stämma
