Rotationsvolym av en ellips

Från 0 till 3 får du väl bara med halva? Annars låter det som en plan.

Vilken integrationsgräns ska jag använda annars?

antingen -3 till 3

eller

integrera från 0 till 3 och multiplicera resultatet med 2

Varför ska man integrera med integrationsgränsen gränsen mellan -3 till 3? 

Skivorna (blåmarkerade) är staplade i x-led. Skivan längst till vänster har x-koordinaten -3, skivan längst till höger har x-koordinaten 3.

Om vi antar att ellipsen snurrar runt x aceln. Ska man inte då anta att integrations gränsen är från 0 till 2?

Nej varför det? Du ska ju integrera i x-led, eller hur?

Det står att ellipsen roterar kring valfri axel alltså får man själv välja om elipsen ska rotera kring y eller x

Javisst, det går bra.

Jag trodde att du hade valt rotation kring x-axeln 

Ja jag valde att ellipsen skulle rotera kring x axeln. Skulle inte radien av slipsen då hamna mellan y=0 och y=3 för b är ju 3 

Läs uppgiften igen. Där står att a= 3 och b = 2.

Jaha ok. Då är ju integrationsgränsen mellan y=0 och y=2 när ellipsen roterar kring x axeln . För då hamnar ju ellipsen radie i y axeln 

Ja, om du roterar runt y-axeln.

Men inte om du roterar runt x-axeln.

(Jag förutsätter att du använder skivmetoden.)

Nej jag tänker att jag roterar kring x inte y. Ja det är skivmetoden jag använder 

OK, då bör jag ge en superkort beskrivning av skivmetoden för att försöka eeda ut eventuellt missförstånd:

Skivmetoden går ut på att summera volymerna av ett stort antal väldigt tunna skivor som ligger staplade på varandra längs med rotationsaxeln.

Om det är fråga om cirkulära skivor (typ vid rotationsvolymer) så är varje skivas area $\pi r^2$, där radien $r$ oftast varierar.

Vi måste då beskriva radien $r$ som en funktion av integrationsvariabeln.

Om rotarionsaxeln t.ex. är $x$-axeln så ska vi integrera i $x$-led och då är varje skivas volym $\pi r^2$ $dx$, där radien $r=r(x)$.

=======

Så om du roterar kring x-axeln så ligger skivorna staplade på varandra i x-led. Den vänstraste skivan ligger vid x = -3 och den högraste vid x = 3..

Du ska då alltså integrera I x-led från x = -3 till x = 3.

På grund av symmetri kan du dock förenkla uträkningen genom att endast integrera från x = 0 till x = 3. Du får du fram halva den efterfrågade volymen.

Jaha okej. Integrations gränsen ska vara längst x led. Men längst y led ska radien finnas 

Ja, varje skiva har en radie som är lika med |y|.

Så din tanke att lösa ut y ur ekvationen för ellipsen är rätt.

Om vi antar att ellipsen snurrar runt x, då ska jag först lösa ut y. Därefter ska jag integrera mellan x=0 och x=3 för den snurra ju runt x axeln. Radien får jag när jag löser ut y ur ellipsens ekvation .

Ja det stämmer. Det du då får fram är halva den efterfrågade volymen (den som ligger till höger om y-axeln).

Pga symmetri finns det även en lika stor volym till vänster om y-axeln.

menar du att jag måste multiplicera rotationsvolymen med 2? Jag förstår inte vrf jag ska göra så?

Om du integrerar från x = 0 till x = 3 får du bara med halva volymen, nämligen den som är till höger om x-axeln y-axeln:

aha så de vill att man räknar ut ”volymen” av hela ellipsen. När man säger rotationsvolym, är det samma sak som att enbart säga volym 

Katarina149 skrev:

aha så de vill att man räknar ut ”volymen” av hela ellipsen.

Ja, eller egentligen den volym som uppstår då ellipsen roterar runt en av koordinataxlarna.

Det står klart och tydligt i uppgiftslydelsen.

När man säger rotationsvolym, är det samma sak som att enbart säga volym 

Nej, rotationsvolym är den volym en rotationskropp har. Det finns även andra volymer som inte hör till rotationskropper. T.ex. volymen av en kub, eller ett badkar.

Men varför ska man isåfall ta rotationsvolymen gånger 2?

Läs svar #22 igen.

Yngve skrev:

Om du integrerar från x = 0 till x = 3 får du bara med halva volymen, nämligen den som är till höger om x-axeln:

Du skriver att om att integrerar mellan x=0 och x=3 får man enbart halva volymen . Men frågan handlar ju inte om volym utan rotationsvolymen

Alla rotationsvolymer är volymer, men alla volymer är inte rotationsvolymer.

Vi kan säga "volym", "volym av rotationskropp" eller "rotationsvolym" när vi pratar om det som efterfrågas här.

Men om vi pratar om en kub så kan vi inte säga att dess volym är en rotationsvolym.

Ok. Men varför bildas det två rotations volymer i elipsen?

Det är en rotationskropp.

Hälften av den ligger till vänster om y-axeln, hälften av den ligger till höger om y-axeln. Rotationskroppen sträcker sig från x = -3 till x = 3.

Du kan beräkna volymen av hela rotationskroppen genom att integrera från x = -3 till x = 3

-eller-

så kan du beräkna volymen av halva rotationskroppen genom att integrera från x = 0 till x = 3. Detta är att föredra eftersom beräkningarna blir enklare, snabbare och mindre felbenägna.

Jaha ok. Det känns däremot lite förvirrande varför man ska räkna ut rotationsvolymeb med integrationsgränsen gränsen från x=-3 till x=3

Du väljer själv vilken metod du vill använda