Rotationsvolym

Din parabel ser ut att vara y = x²-8, inte y = x².

Jag saknar även tydligt angivna begränsningar för området, vilket gör att du har markerat fel område som roterar. 

Yngve skrev:

Din parabel ser ut att vara y = x²-8, inte y = x².

Jag saknar även rotationsaxeln y = 8 i din figur.

Jag vill få funktionen att rotera runt x-axeln och därför subtraherade jag parabeln med 8 för att rotationskroppen ska motsvara samma  area och volym. Det är även det som jag illustrerat i grafen. Därav y=x^2-8

Jag förstår din tanke, men du hoppar in i slutsatser för tidigt.

Börja med att rita en bild som avspeglar ursprungslydelsen, dvs avgränsningar y = x², y = 0 och x = 1. Markera det området. Visa din bild.

Yngve skrev:

Jag förstår din tanke, men du hoppar in i slutsatser för tidigt.

Börja med att rita en bild som avspeglar ursprungslydelsen, dvs avgränsningar y = x², y = 0 och x = 1. Markera det området. Visa din bild.

har jag markerat rätt område som ska beräknas?

Nej, området du har markerat stämmer inte med de i uppgiften angivna avgränsningarna.

Gör så här, det fungerar även i andra sammanhang:

1. Rita ett koordinatsystem.
2. Rita de kurvor/linjer som begränsar området (i det här fallet y = x², y = 0 och x = 1).
3. Försök att hitta ett slutet område som begränsas av ovanstående kurvor/linjer.
4. Markera området.
5. Bestäm områdets hörnpunkter (t.ex. skärningspunkter mellan kurvir/linjer)
6. Markera rotationsaxeln (i detta fallet y = 8).
7. Välj metod (skivmetoden, skalmetoden) och integrationsriktning.
8. Ta fram ett uttfyck för volymelementet dV.
9. Integrera.

Yngve skrev:

Nej, området du har markerat stämmer inte med de i uppgiften angivna avgränsningarna.

Gör så här, det fungerar även i andra sammanhang:

1. Rita ett koordinatsystem.
2. Rita de kurvor/linjer som begränsar området (i det här fallet y = x², y = 0 och x = 1).
3. Försök att hitta ett slutet område som begränsas av ovanstående kurvor/linjer.
4. Markera området.
5. Bestäm områdets hörnpunkter (t.ex. skärningspunkter mellan kurvir/linjer)
6. Markera rotationsaxeln (i detta fallet y = 8).
7. Välj metod (skivmetoden, skalmetoden) och integrationsriktning.
8. Ta fram ett uttfyck för volymelementet dV.
9. Integrera.

hej jag har följt dina steg och vill få integralen som ska lösas till: $\mathrm{\pi }{\int }_0^1{(8-x^2)}^2 dx=\mathrm{\pi }{\int }_0^1(64-16x+x^4)dx$

är jag på rätt spår?

Det beror på. Integralens värde ger inte den efterfrågade volymen, men det kanske bara är ett mellansteg?

Visa din figur och hur du har resonerat för att komma fram till integranden $\pi (8-x^2)^2$ 

Yngve skrev:

Det beror på. Integralens värde ger inte den efterfrågade volymen, men det kanske bara är ett mellansteg?

Visa din figur och hur du har resonerat för att komma fram till integranden $\pi (8-x^2)^2$ 

skärningspunkten mellan x=1 och y=x^2 blir (1,1) där x-värdet används som övre integrationsgräns och 0 blir undre integeationsgräns.

Arean av området kan beskrivas som ${\mathrm{\pi r}}^2$

där r=x^2. Men eftersom volym rotationen ska ske runt linje y=8 blir A=${(8-x^2)}^2$och därmed blir Volymen(V)

V=${\int }_0^1{(8-x^2)}^{2}dx$

Tack, det var en tydlig och bra beskrivning av hur du tänkte. Tyvärr så finns det ett mindre feltänk när du beräknar skivans area.

Det är alltid bra att rita mycket och först därefter sätta upp uttrycken som ska användas.

Hur ser en skiva vid t.ex. x = 0,5 ut egentligen? Visst är det en "ring", dvs en cirkelskiva med ett hål i mitten?

Rita hur den ser ut när vi tittar i x-led. 

Markera i figuren vilka mått som gäller.

Vad har själva ringen för area?

Tillägg: 21 okt 2021 17:31

Glömde att förtydliga att området nu är korrekt markerat!

Yngve skrev:

Tack, det var en tydlig och bra beskrivning av hur du tänkte. Tyvärr så finns det ett mindre feltänk när du beräknar skivans area.

Det är alltid bra att rita mycket och först därefter sätta upp uttrycken som ska användas.

Hur ser en skiva vid t.ex. x = 0,5 ut egentligen? Visst är det en "ring", dvs en cirkelskiva med ett hål i mitten?

Rita hur den ser ut när vi tittar i x-led. 

Markera i figuren vilka mått som gäller.

Vad har själva ringen för area?

Jag tror jag förstår. Avståndet är inte 8 l.e under hela ekvationen? Avståndet är bara 8 l.e till y=8  när x=0 ändras 

Det stämmer att ringens utseende förändras då x ändras. Det är bra att göra en skiss så att risken att sätta upp fel uttryck minimeras.

Rita en ring sedd i x-led där medelpunkt enär linjen y = 8.

Ringen har en ytre och en inre radie.

• Yttre radien är ...
• Inre radien är ...
• Ringens area är ...

Visa gärna din bild här så att även andra elever kan ta till sig kunskapen.

Ja det stämmer.

Vi har alltså att

• Yttre radien är 8
• Inre radien är 8-x²
• Arean är ....

Tack! jag löste det tror jag. 

A(x)=$\mathrm{\pi }{8}^2-\mathrm{\pi }{(8-{\mathrm{x}}^2)}^2=16{\mathrm{\pi x}}^2-{\mathrm{\pi x}}^4$

vilket ger $V=\mathrm{\pi }{\int }_0^1(16x^2-x^4)=\frac{77}{15}\mathrm{\pi } \mathrm{v}.\mathrm{e}$

Tack för all hjälp idag

Bra, nu är det rätt.

Jag hoppas att du fick med dig att det är viktigt att läsa uppgiftslydelsen noggrannt och att enkla skisser kan hjälpa oss in på rätt spår.

Sen är det intressant att din integrand även visar en alternativ lösningsmetod: Beräkna volymen av en cylinder med radien 8 och höjden 1. Subtrahera sedan från den volymen av den rotationskropp som uppstår då området mellan x = 0, x = 1, y = x² och y = 8 roteras runt y = 8.