Rotationsvolym

Du kan använda skivmetoden eller skalmetoden (det jag tror är vad du kallar rörformeln). Pröva gärna båda så ser du rätt snabbt vilken som är enklast att använda.

Som alltid när det gäller rotationsvolymer så är det oerhört viktigt att börja med att skaffa sig en förståelse för hur rotationskroppen ser ut och vilka dess begränsningar är.

Börja därför med att grovt skissa ett tvärsnitt av rotationskroppen, lämpligtvis i ett xy-koordinatsystem.

Visa din figur.

Prova de metoder du kan tills du kör fast. 

Jag löser inte detta oavsett formel. Vad händer med gränserna om jag integrerar med avseende på x? (Rörformeln). 

När jag integrerar får jag x^6/6 +x^2/2 men gränserna är ju uttryckta i y?

Har du ritat en figur?

• Om ja, visa den.
• Om nej, gör det och visa den.

Yngve skrev:

Har du ritat en figur?

• Om ja, visa den.
• Om nej, gör det och visa den.

Ja men det hjälper ändå inte.

Visa den.

Här finns instruktioner hur du kan infoga en bild.

Yngve skrev:

Visa den.

Här finns instruktioner hur du kan infoga en bild.

Har gjort det nu.

OK det principiella utseendet är bra.

Kanske kurvan ska ligga ett steg uppåt eftersom den ska skära y-axeln i punkten (0, 1) och inte origo, men det spelar inte så stor roll här eftersom den delen inte ingår i området.

Komplettera nu med linjerna y = 3 och y = 9 så ser du hur området som roterar kring y-axeln ser ut.

Kommentar: Du skrev $y = x^4+1$ i trådstarten men $y = 2x^4 + 1$ nu i din figur. Vilket är det?

Kan du med ord beskriva hur ett skal (ett rör) ser ut? Eller rita i din bild?

Yngve skrev:

OK det principiella utseendet är bra.

Kanske kurvan ska ligga ett steg uppåt eftersom den ska skära y-axeln i punkten (0, 1) och inte origo, men det spelar inte så stor roll här eftersom den delen inte ingår i området.

Komplettera nu med linjerna y = 3 och y = 9 så ser du hur området som roterar kring y-axeln ser ut.

Kommentar: Du skrev $y = x^4+1$ i trådstarten men $y = 2x^4 + 1$ nu i din figur. Vilket är det?

Kan du med ord beskriva hur ett skal (ett rör) ser ut? Eller rita i din bild?

Det ska vara 2x^4+1, skrev fel.

Har två formler jag kan använda, antingen integralen av pi*x^2 eller integralen av 2pi*x*y. 

hape205 skrev:

Det ska vara 2x^4+1, skrev fel.

Har två formler jag kan använda, antingen integralen av pi*x^2 eller integralen av 2pi*x*y. 

OK bra.

Det är endast i undantagsfall som det går att direkt tillämpa en formel när man ska beräkna en rotationsvolym.

Du kan räkna med att du alltid måste börja med att förstå hur rotationskroppen ser ut för att därigenom kunna ta reda på dels vilken integrationsriktning du ska använda, dels vilka integrationsgränser som gäller och dels för att förstå hur integranden (den funktion du ska integrera) ser ut.

===========================================

I det här fallet ser rotationskroppen ut som en (massiv) "skål" med platt botten.

Botten är cirkulär och befinner sig på höjden $y = 3$ ovanför $x$-axeln. Bottens radie får du fram genom att lösa ekvationen $3=2x^4+1$.

Skålens sidor följer funktionen $y=2x^4+1$ upp till höjden $y=9$ där skålens radie fås genom att lösa ekvationen $9=2x^4+1$.

Om du ritar denna skål i ett koordinatsystem och ritar in ett exempel på ett "rör" (cylindriskt skal runt y-axeln) så ser du att rörens höjd är konstant (lika med 6) nära y-axeln så länge radien är mindre än eller lika med bottens radie.

Först efter det så ändras rörens höjd, från 6 ner till 0 då radien är som störst.

Ser du det framför dig?

Det betyder att du, om du ska använda rörmetoden, bör dela upp kroppen i två delar. Dels en inre del som är en cylinder med raka väggar och fast höjd, dels en yttre del med kurvade väggar och varierande höjd.

Yngve skrev:

hape205 skrev:

Det ska vara 2x^4+1, skrev fel.

Har två formler jag kan använda, antingen integralen av pi*x^2 eller integralen av 2pi*x*y. 

OK bra.

Det är endast i undantagsfall som det går att direkt tillämpa en formel när man ska beräkna en rotationsvolym.

Du kan räkna med att du alltid måste börja med att förstå hur rotationskroppen ser ut för att därigenom kunna ta reda på dels vilken integrationsriktning du ska använda, dels vilka integrationsgränser som gäller och dels för att förstå hur integranden (den funktion du ska integrera) ser ut.

===========================================

I det här fallet ser rotationskroppen ut som en (massiv) "skål" med platt botten.

Botten är cirkulär och befinner sig på höjden $y = 3$ ovanför $x$-axeln. Bottens radie får du fram genom att lösa ekvationen $3=2x^4+1$.

Skålens sidor följer funktionen $y=2x^4+1$ upp till höjden $y=9$ där skålens radie fås genom att lösa ekvationen $9=2x^4+1$.

Om du ritar denna skål i ett koordinatsystem och ritar in ett exempel på ett "rör" (cylindriskt skal runt y-axeln) så ser du att rörens höjd är konstant (lika med 6) nära y-axeln så länge radien är mindre än eller lika med bottens radie.

Först efter det så ändras rörens höjd, från 6 ner till 0 då radien är som störst.

Ser du det framför dig?

Det betyder att du, om du ska använda rörmetoden, bör dela upp kroppen i två delar. Dels en inre del som är en cylinder med raka väggar och fast höjd, dels en yttre del med kurvade väggar och varierande höjd.

 

Hänger inte med, du får rita upp hur du tänker.

Fixade ditt citat, så att det syns vad som är citat och vad du har skrivit /Smaragldana, moderator

Ungefär så här.

Det svarta området $A_1$ skapar en cylinder när det roterar runt y-axeln. Cylindern har konstant radie som ges av lösningen till $2x^4+1=3$ och konstant höjd $h_1=9-3=6$.

Det gröna området $A_2$ skapar när det roterar runt y-axeln, en yttre "ring" runt cylindern. Ringen har konstant inre radie enligt ovan och en varierande yttre radie som är $x$. Ringens höjd $h_2$ minskar från $6$ ner till $0$ då $y$ går från $3$ till $6$.

Ett "rör" i den yttre ringen på avstånd $x$ från y-axeln har omkretsen $2\pi x$, höjden $9-(2x^4+1)$ och tjockleken $dx$, vilket betyder att rörets volym är $2\pi x(9-(2x^4+1)) dx$.

Kommer du vidare då?

EDIT - Korrigerade skrivfel