Rotationsvolym (Matematik/Universitet)

Har du ritat? De betraktar horisontella strimlor. När de roteras så blir det en cirkelskiva med ett cirkulärt hål i.

Laguna skrev:
Har du ritat? De betraktar horisontella strimlor. När de roteras så blir det en cirkelskiva med ett cirkulärt hål i.

Får den att se ut som en munk.men fattar ej.

Uppgiften är felformulerad (jämfört med lösningsförslaget), området roteras kring z-axeln.

De räknar ringområden (mutterbricka, anananskivor, eng: annulus) med area pi(R^2-r^2) med ytterradie R och innerradie r över y-koordinater.

Alternativt kan du använda Pappus-Guldins regel, cirkelskivans area gånger tyngdpunktens väg, (pi*4)*(2*pi*4) = 32*pi^2.

Det blir en munk eller även kallad torus, inte någon cirkelskiva. Du bör vara mer specifik med vad du inte förstår.

Ebola skrev:
Det blir en munk eller även kallad torus, inte någon cirkelskiva. Du bör vara mer specifik med vad du inte förstår.

Jag förstår inte hur jag ska gå till väga för att lösa problemet. Jag har läst och använt skivmetiden och rörmetoden men förstår verkligen inte hur jag ska kunna använda någon av dem här.

Vi kan hjälpa dig att lösa uppgiften både med skivmetoden och med rötrmetoden. Vilken metod väljer du? Ditt lösningsförslag har valt skivmetoden, vad är det du inte förstår med den lösningen?

Smaragdalena skrev:
Vi kan hjälpa dig att lösa uppgiften både med skivmetoden och med rötrmetoden. Vilken metod väljer du? Ditt lösningsförslag har valt skivmetoden, vad är det du inte förstår med den lösningen?

Försöker visa hur jag tänkt (se bild). Jämför, med ett påhittat exempel till höger för att visa hur jag räknar med skivmetoden, som jag upplever mig förstå.

Louiger skrev:
Smaragdalena skrev:
Vi kan hjälpa dig att lösa uppgiften både med skivmetoden och med rötrmetoden. Vilken metod väljer du? Ditt lösningsförslag har valt skivmetoden, vad är det du inte förstår med den lösningen?
Försöker visa hur jag tänkt (se bild). Jämför, med ett påhittat exempel till höger för att visa hur jag räknar med skivmetoden, som jag upplever mig förstå.

Någon?

Vilken form har varje skiva?

Är det som en ananasring, med en innerradie, en ytterradie och en tjocklek? I så fall borde detta synas i din formel.

Louiger skrev:
Någon?

Jag förstår inte riktigt vilken funktion du roterar. Du skriver att det är $A (x) = 4 π x^{2}$ men stämmer det verkligen? Det borde väl vara:

Sedan när du roterar denna runt y-axeln får du halva munken:

Antingen använder vi skivmetoden genom att bryta ut och bestämma $x (y)$ från cirkelns ekvation eller så använder vi rörmetoden från ekvationen för halvcirkeln i min första bild. Det senare gör vi genom att räkna ut en infinitesimal volym för ett rör med radie $x$ , höjd $y (x)$ och tjocklek $d x$ enligt:

$d V = 2 π x \cdot y (x) \cdot d x$

Om vi summerar dessa volymer över området får vi:

$\frac{V}{2} = 2 π \int_{2}^{4} x \sqrt{4 - {(4 - x)}^{2}} d x$

Ebola skrev:
Louiger skrev:
Någon?
Jag förstår inte riktigt vilken funktion du roterar. Du skriver att det är $A (x) = 4 π x^{2}$ men stämmer det verkligen? Det borde väl vara:
Sedan när du roterar denna runt y-axeln får du halva munken:
Antingen använder vi skivmetoden genom att bryta ut och bestämma $x (y)$ från cirkelns ekvation eller så använder vi rörmetoden från ekvationen för halvcirkeln i min första bild. Det senare gör vi genom att räkna ut en infinitesimal volym för ett rör med radie $x$ , höjd $y (x)$ och tjocklek $d x$ enligt:
$d V = 2 π x \cdot y (x) \cdot d x$
Om vi summerar dessa volymer över området får vi:
$\frac{V}{2} = 2 π \int_{2}^{4} x \sqrt{4 - {(4 - x)}^{2}} d x$

Ok har provat börja på att följa rörmetoden som du exemplifierar, men kan inte se hur detta ska bli till svaret: 32(pi)^2 då pi inte kommer med på fler ställen i integralen. (Har inte lyckats integrera dV än) fick inte heller till x(y). Skulle bara vilja fatta. Inga uppgifter som ska lämnas in, men har en tenta som jag verkligen vill klara och då behöver jag fatta och just nu kan jag inte ens se hur jag ska kunna dela upp det i mindre delar.

Det kommer in ett $\pi$ från arean för den lilla cirkeln och ett $\pi$ från omkretsen för den stora cirkeln.

Jag får ursäkta men jag ser nu att integralgränserna så klart ska vara 2 till 6 inte 2 till 4.

Louiger skrev:
Ok har provat börja på att följa rörmetoden som du exemplifierar, men kan inte se hur detta ska bli till svaret: 32(pi)^2 då pi inte kommer med på fler ställen i intergralen. (Har inte lyckats integrera dV än) fick inte heller till x(y). Skulle bara vilja fatta. Inga uppgifter som ska lämnas in, men har en tenta som jag verkligen vill klara och då behöver jag fatta och just nu kan jag inte ens se hur jag ska kunna dela upp det i mindre delar.

Du kan stoppa in integralen i wolfram alpha och se vad som kommer ut. Eftersom integranden är relaterad till arean av en cirkel kommer $π$ vara en del av integralens resultat. Den primitiva funktionen kommer nämligen innehålla inversa trigonometriska funktioner så som $\arcsin (x)$ .

När det kommer till då du sitter på tentamen är det väl en fråga om att veta hur man löser integralen eftersom du inte har någon tabell med lösta integraler. Ur den synvinkeln är sättet de angriper problemet på i facit det bättre eftersom du får en enklare integral. Ha detta i åtanke när du sitter på tentamen, försök utföra både rörmetoden och skivmetoden för att se vilken som ger enklast integral.

Lösning av integralen

$\int_{2}^{6} x \sqrt{4 - {(4 - x)}^{2}} d x$

Vi utför en substitution:

$2 u = 4 - x; 2 d u = - d x; x \in [2, 6] \to u \in [1, - 1]$

Detta ger oss två integraler när vi snyggar till lite:

$\int_{1}^{- 1} (4 - 2 u) \sqrt{4 - 4 u^{2}} (- 2 d u) = 4 \int_{- 1}^{1} (4 - 2 u) \sqrt{1 - u^{2}} d u = = 16 \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - u^{2}} d u - 8 \int_{- 1}^{1} u \sqrt{1 - u^{2}} d u$

Lösningen på dessa integraler är enkla substitutioner du bör ha gjort många gånger. Innan dess ska du kontrollera om någon av integranderna är ojämna eftersom du har ett symmetriskt intervall, då är nämligen integralen lika med noll. Vi får att:

$\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - u^{2}} d u = [\begin{matrix} u = \sin θ \\ d u = \cos θ d θ \end{matrix}] = \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos^{2} θ d θ = \frac{π}{2} \int_{- 1}^{1} u \sqrt{1 - u^{2}} d u = 0$

Detta ger oss slutligen resultatet som:

$\int_{2}^{6} x \sqrt{4 - {(4 - x)}^{2}} d x = 8 π$

Vi får då volymen som:

$V = 4 π \times i n t e g r a l = 32 π^{2}$

Ebola skrev:
Jag får ursäkta men jag ser nu att integralgränserna så klart ska vara 2 till 6 inte 2 till 4.
Louiger skrev:
Ok har provat börja på att följa rörmetoden som du exemplifierar, men kan inte se hur detta ska bli till svaret: 32(pi)^2 då pi inte kommer med på fler ställen i intergralen. (Har inte lyckats integrera dV än) fick inte heller till x(y). Skulle bara vilja fatta. Inga uppgifter som ska lämnas in, men har en tenta som jag verkligen vill klara och då behöver jag fatta och just nu kan jag inte ens se hur jag ska kunna dela upp det i mindre delar.
Du kan stoppa in integralen i wolfram alpha och se vad som kommer ut. Eftersom integranden är relaterad till arean av en cirkel kommer $π$ vara en del av integralens resultat. Den primitiva funktionen kommer nämligen innehålla inversa trigonometriska funktioner så som $\arcsin (x)$ .
När det kommer till då du sitter på tentamen är det väl en fråga om att veta hur man löser integralen eftersom du inte har någon tabell med lösta integraler. Ur den synvinkeln är sättet de angriper problemet på i facit det bättre eftersom du får en enklare integral. Ha detta i åtanke när du sitter på tentamen, försök utföra både rörmetoden och skivmetoden för att se vilken som ger enklast integral.

Lösning av integralen
$\int_{2}^{6} x \sqrt{4 - {(4 - x)}^{2}} d x$
Vi utför en substitution:
$2 u = 4 - x; 2 d u = - d x; x \in [2, 6] \to u \in [1, - 1]$
Detta ger oss två integraler när vi snyggar till lite:
$\int_{1}^{- 1} (4 - 2 u) \sqrt{4 - 4 u^{2}} (- 2 d u) = 4 \int_{- 1}^{1} (4 - 2 u) \sqrt{1 - u^{2}} d u = = 16 \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - u^{2}} d u - 8 \int_{- 1}^{1} u \sqrt{1 - u^{2}} d u$
Lösningen på dessa integraler är enkla substitutioner du bör ha gjort många gånger. Innan dess ska du kontrollera om någon av integranderna är ojämna eftersom du har ett symmetriskt intervall, då är nämligen integralen lika med noll. Vi får att:
$\int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - u^{2}} d u = [\begin{matrix} u = \sin θ \\ d u = \cos θ d θ \end{matrix}] = \int_{- π / 2}^{π / 2} \cos^{2} θ d θ = \frac{π}{2} \int_{- 1}^{1} u \sqrt{1 - u^{2}} d u = 0$
Detta ger oss slutligen resultatet som:
$\int_{2}^{6} x \sqrt{4 - {(4 - x)}^{2}} d x = 8 π$
Vi får då volymen som:
$V = 4 π \times i n t e g r a l = 32 π^{2}$

Jag lyckas lösa det mha skivmetoden nu. Ser ut typ som lösningen jag hittade på nätet och la upp i frågeställningen, men jag fattar de bättre nu när jag gjort det själv. Jag förstår dock fortfarande inte helt hur det skulle "SE"-ut i användning av rörmetoden. Lyckades förstå det mha skivmetoden nu. Men är rören då tänkta att ligga på x-axeln och gå från utterradie till innerradien typ?

Här är skivmetoden som jag fattade den:

Rörmetoden: Integrationsgränser från x=2 till x=6. Varje volymselement kommer att bli en ring sm har tjockleken dx, höjden 2y(x) och radien x (d v s omkretsen $2\pi x$ ). Du vet att $(x-4)2+y2\le4$ så sätt y(x)=\sqrt{4-(x-4)^2}$$. Volymselementet blir alltså $$2\sqrt{4-(x-4)^2}\cdot2\pi x dx$$.