Rotationsvolym

På den andra uppgiften så subtraherar man området D ifrån cylindern som bildas när du roterar rektangeln som begränsas av de positiva koordinataxlarna samt linjerna x=pi/2 och y=1.

När du beräknar den givna integralen för funktionen y=sin(x) så får du enbart det som är under grafen mellan 0 och pi/2. Den första integralen är bara volymen av en cylinder med radien 1 och höjden pi/2.

Lirim.K skrev :

På den andra uppgiften så subtraherar man området D ifrån cylindern som bildas när du roterar rektangeln som begränsas av de positiva koordinataxlarna samt linjerna x=pi/2 och y=1.

När du beräknar den givna integralen för funktionen y=sin(x) så får du enbart det som är under grafen mellan 0 och pi/2. Den första integralen är bara volymen av en cylinder med radien 1 och höjden pi/2.

Just det, jag är med på själva uträkningen, inga problem där. Det är bara så luddigt i problemformuleringen, hur vet man att det är just den volymen som är sökt? Vad är skillnaden mellan uppgift 1 och 2? Det är ju liksom samma uppgift (bara andra funktioner etc), men där räknar man en annan volym. Jag fattar inte.

I alla dessa uppgifter som har med rotationskroppar att göra är det avgörande att man förstår hur rotationskroppen ser ut.

Det är alltså oerhört viktigt att man ritar en figur, dels över området som roterar (dessa två figurer finns med ovan), men även att man försöker skapa en bild av hur den 3-dimensionella kroppen som bildas av rotationen ser ut.

Annars kommer man säkerligen att få fel någonstans. Om inte på integrationsgränser så på integrand.

tarkovsky123_2 skrev :

Det är bara så luddigt i problemformuleringen, hur vet man att det är just den volymen som är sökt? Vad är skillnaden mellan uppgift 1 och 2? 

I båda uppgifterna är det område D som roterar kring en koordinataxel.

I första uppgiften består rotationskroppen av en konvex kropp (den har inga inbuktningar).

I andra uppgiften har rotationskroppen en "urgröpning". Den ser ut som en cylinder där man har gröpt ur en skålform från ena sidan. Ser du det framför dig?

 Yes, jag håller med. Men jag tror ändå att jag förstår hur kropparna ser ut. Det jag tycker är mystiskt är ju dock varför man inte räknar i uppgift 2 såsom i uppgift 1, dvs varför räknar man i uppgift 2 att den sökta volymen blir Volym(cylinder) - Vx där Vx är volymen som alstras om sin(x) roterar kring x. Jag menar, problemformuleringarna är ju närmast identiska när de säger "... området som ges av sinx<y<1.... eller området 0<y<e^x ..." Vad är skillnaden?

tarkovsky123_2 skrev :

 Yes, jag håller med. Men jag tror ändå att jag förstår hur kropparna ser ut. Det jag tycker är mystiskt är ju dock varför man inte räknar i uppgift 2 såsom i uppgift 1, dvs varför räknar man i uppgift 2 att den sökta volymen blir Volym(cylinder) - Vx där Vx är volymen som alstras om sin(x) roterar kring x. Jag menar, problemformuleringarna är ju närmast identiska när de säger "... området som ges av sinx<y<1.... eller området 0<y<e^x ..." Vad är skillnaden?

Uppgift 2: Det som efterfrågas är volymen av rotationskroppen som uppstår då området D roterar kring x-axeln.

Då får du en urgröpt cylinder som resultat.  Du måste alltså subtrahera bort urgröpningen eftersom den inte tillhör rotationskroppen.

Ja, det är jag med på. Det som jag fortfarande inte fattar är hur man utifrån problemtexten kan dra slutsatsen att det är just området D som är av intresse. I problemtexten skrivs "Bestäm volymen av den kropp som alstras då området som ges av sin x < y < 1 och 0 <x <pi/2 roterar kring x-axeln." Varför är det en självklarhet att man syftar på det område, området D, som begränsas av y-axeln, "övre delen av kurvan" och y = 1? Varför kan inte problemtexten lika gärna syfta på området mellan x-axeln och "undre delen av kurvan" (precis som i uppgift 1) ?

Om du rakt av bara skulle integrera funktionen y = sin(x) mellan 0 och pi/2 rakt av i den andra uppgiften så hade du fått volymen av det område som genererats då den blå-streckade ytan i bilden nedan roterar kring x-axeln.

tarkovsky123_2 skrev :

Ja, det är jag med på. Det som jag fortfarande inte fattar är hur man utifrån problemtexten kan dra slutsatsen att det är just området D som är av intresse. I problemtexten skrivs "Bestäm volymen av den kropp som alstras då området som ges av sin x < y < 1 och 0 <x <pi/2 roterar kring x-axeln." Varför är det en självklarhet att man syftar på det område, området D, som begränsas av y-axeln, "övre delen av kurvan" och y = 1? Varför kan inte problemtexten lika gärna syfta på området mellan x-axeln och "undre delen av kurvan" (precis som i uppgift 1) ?

Området D definieras ju av villkoren:

Villkoret sin(x) <= y <= 1: sin(x) är "kurvan", så villkoret sin(x) <= y betyder att y ligger ovanför kurvan. Villkoret y <= 1 betyder att y ligger under linjen y = 1. y ligger alltså mellan kurvan och linjen y = 1.

Om området som avsågs skulle ligga under kurvan så skulle villkoret vara 0 <= y <= sin(x). Ser du skillnaden?

Japp just det.

Om man i uppgift 1 analyserar problemtexten så efterfrågar dem specifikt efter rotationskroppens volym. Och då fås ju naturligtvis den volymen som alstras då funktionen i uppgift 1 roterar runt x-axeln.

I uppgift 2 så efterfrågas inte specifikt rotationskroppens volym, utan istället skriver dem "volymen av den kropp som alstras då området.... ", vilket innebär området D i figuren.

Aha så måste det ju vara. Eller hur?

tarkovsky123_2 skrev :

Japp just det.

Om man i uppgift 1 analyserar problemtexten så efterfrågar dem specifikt efter rotationskroppens volym. Och då fås ju naturligtvis den volymen som alstras då funktionen i uppgift 1 roterar runt x-axeln.

I uppgift 2 så efterfrågas inte specifikt rotationskroppens volym, utan istället skriver dem "volymen av den kropp som alstras då området.... ", vilket innebär området D i figuren.

Aha så måste det ju vara. Eller hur?

Ja. Det är samma sak.

I ena uppgiften står det "... beräkna rotationskroppens volym ..."

I andra uppgiften står det "... beräkna volymen av den kropp som ... roterar ..."

Snarlika formuleringar men de menar samma sak.

Yngve skrev :

tarkovsky123_2 skrev :

Ja, det är jag med på. Det som jag fortfarande inte fattar är hur man utifrån problemtexten kan dra slutsatsen att det är just området D som är av intresse. I problemtexten skrivs "Bestäm volymen av den kropp som alstras då området som ges av sin x < y < 1 och 0 <x <pi/2 roterar kring x-axeln." Varför är det en självklarhet att man syftar på det område, området D, som begränsas av y-axeln, "övre delen av kurvan" och y = 1? Varför kan inte problemtexten lika gärna syfta på området mellan x-axeln och "undre delen av kurvan" (precis som i uppgift 1) ?

Området D definieras ju av villkoren:

Villkoret sin(x) <= y <= 1: sin(x) är "kurvan", så villkoret sin(x) <= y betyder att y ligger ovanför kurvan. Villkoret y <= 1 betyder att y ligger under linjen y = 1. y ligger alltså mellan kurvan och linjen y = 1.

 

Om området som avsågs skulle ligga under kurvan så skulle villkoret vara 0 <= y <= sin(x). Ser du skillnaden?

Ja naturligtvis! Så måste det ju vara! Nu fattar jag!

Edit: Nu känns ju lösningen till båda 1an och 2an rimliga om man utgår från villkoret för hur y definieras kring kurvan precis som du sa. Tack så mycket!

Bra!

Du ser hur viktigt det alltså är att

1. rita figurer,
2. visualisera rotationen och först efter det
3. välja lösningsmetod, baserat på hur rotationskroppen verkligen ser ut.

Ja, absolut. Tack så mycket!