Rotationsvolym

Teamrob skrev:

Jag försöker sammanfatta lite gällande rotationsvolymer. När det kommer uppgifter t.ex. beräkna rotationskroppen kring y-axeln. Löser man ut funktionen så att variabeln x står ensamt därefter beräknar man $\mathrm{\pi }{\int }_a^b\left(f\right(x){)}^{2}dx$

När man beräkna rotation kring x-axeln gör man samma men att variabeln y står ensamt och man gör detsamma.

Men när man får två funktioner som ska beräkna inom ett intervall och en är över och under funktion beräknas rotationsvolymen kring x-axeln som följande $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left(\right(\mathrm{f}(\mathrm{x}{)}^2-\mathrm{g}(\mathrm{x}{)}^2)\mathrm{dx}$

Men när det kommer uppgifter som att den ska rotera kring t.ex. y=k en ny axel än y=0 blir det då alltid $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}(\mathrm{k}-\mathrm{f}(\mathrm{x}){)}^2\mathrm{dx}$. Eller kollar man som här vilken som är över och underfunktion? Som gör att det också kan bli$\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x})-\mathrm{k}{)}^2\mathrm{dx}$?

Samma fråga gäller om man vill rotera kring en ny axel istället för y-axeln. Funkar det att man generellt tar $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left(\mathrm{f}\right(\mathrm{x})-\mathrm{k}{)}^2\mathrm{dx}$? 

Generellt kan man väl säga att man inte kommer långt med generella formler när det gäller att beräkna rotationsvolymer.

Det finns ofta någon liten twist som gör att formlerna ändå inte går att tillämpa direkt.

Det kan vara sådana saker som att integrationsgränserna är oväntade, att området måste delas upp i olika delar eller annat.

Jag rekommenderar att man alltid börjar från grunden, ritar en figur, skaffar sig förståelse för geometrin, dvs hur området ser ut, var rotationsaxeln ligger, hur skalet eller skivan ser ut, vilka integrationsgränser som gäller och så vidare.

----

Men som svar på en av dina frågor så gäller att $(k-f(x))^2=(f(x)-k)^2$.