Rotationsvolym
Formen hos en viss kropp kan beskrivas genom att området som begränsas av linjen
y = 2 och kurvan y=6−x² roteras runt linjen y = 2 .
Beräkna kroppens volym.
Jag tänkte först att man ska skriva om funktionen uttryckt i x² för att den roteras i y axeln men sedan vet jag inte hur jag tar mig vidare.
Har du ritat?
theswagmaster skrev:Formen hos en viss kropp kan beskrivas genom att området som begränsas av linjen
y = 2 och kurvan y=6−x² roteras runt linjen y = 2 .
Beräkna kroppens volym.
Jag tänkte först att man ska skriva om funktionen uttryckt i x² för att den roteras i y axeln men sedan vet jag inte hur jag tar mig vidare.
Första steget är som vanligt att rita.
theswagmaster skrev:Formen hos en viss kropp kan beskrivas genom att området som begränsas av linjen
y = 2 och kurvan y=6−x² roteras runt linjen y = 2 .
Beräkna kroppens volym.
Jag tänkte först att man ska skriva om funktionen uttryckt i x² för att den roteras i y axeln men sedan vet jag inte hur jag tar mig vidare.
Har du någon skiss över situationen?
Trinity2 skrev:theswagmaster skrev:Formen hos en viss kropp kan beskrivas genom att området som begränsas av linjen
y = 2 och kurvan y=6−x² roteras runt linjen y = 2 .
Beräkna kroppens volym.
Jag tänkte först att man ska skriva om funktionen uttryckt i x² för att den roteras i y axeln men sedan vet jag inte hur jag tar mig vidare.
Har du någon skiss över situationen?
Haha, tror theswagmaster fått en vag känsla att hen ska rita nu..
här har jag ritat upp funktionen och begränsningen.
Snyggt!
Har du räknat på rotationsvolymer innan? Någon bra metod du tycker passar här? Tänk på att det är utan mellan graferna som roterar.
theswagmaster skrev:
Bra start. Rita nu in linjen y = 2 och skissa hur rotationskroppen ser ut.
Smaragdalena skrev:theswagmaster skrev:
Bra start. Rita nu in linjen y = 2 och skissa hur rotationskroppen ser ut.
y=2 finns redan där om jag inte blivit galen😅 den är grå
Du har rätt om y = 2. Spegla ner kurvan, och antyd med "en cirkel i perspektiv" hur rotationskroppen ser ut.
vad menar du med spegla ner kurvan?
mrpotatohead skrev:Snyggt!
Har du räknat på rotationsvolymer innan? Någon bra metod du tycker passar här? Tänk på att det är utan mellan graferna som roterar.
jag tänkte först att den skulle rotera kring y-axlen men är inte så säker eftersom y=2 ser ut som en x-axel. Så jag vet inte vilken formel jag ska utgå ifrån.
Jag tycker att du borde fokusera på att förstå metoderna istället för att memorera formler. Om du förstår metoderna behöver du inte ens några formler. Jag kan visa ungefär (dvs. intuitivt och inte så rigoröst) hur jag tänker. Om du tycker det verkar krångligt kan du bara ignorera det.
Visa spoiler
Tänk dig först att du delar in varje ytenhet i området i ett antal, lika breda rektanglar:
Nu fyllde jag bara i ungefär halva, men föreställ dig att hela området är indelat i ett visst antal, lika breda rektanglar. Som du ser finns det ett visst fel, dvs. summan av arean på våra rektanglar är inte exakt samma som på hela områdets area. Men ju tunnare våra rektanglar blir, desto exaktare blir vår uppskattning av arean. Låt nu bredden på en rektangel vara infinitesimal (alltså ha en bredd dx). Då får vi alltså oändligt många, "oändligt tunna" rektanglar, vars areaor tillsammans exakt motsvarar områdets area.
Nu ska vi göra något intressant. Ta en sådan rektangel, och rotera den runt y=2:
Så volymen på en sådan rektangel blir π(4-x2)dx efter rotation. Nu summerar vi alla sådana volymelement:
π∫2-2(4-x2)2dx
Fördelen med att lära sig varför saker fungerar är att man aldrig behöver memorera något. Jag kan varken abc-formeln, pq-formeln eller några av dessa formler utantill. Det är slöseri med plats i hjärnan.
theswagmaster skrev:vad menar du med spegla ner kurvan?
Det står i uppgiften att kurvan skall roteras kring linjen y = 2. Gör en andragradskurva till, som går genom punkterna (-2,2), (0,-2) och (2,2) så får du "nederkanten" av kroppen.
Menar du såhär?
Det är rätt.
Den skall nu rotera runt y=2, men det är kanske inte "rakt fram", så tag hela grafen och flytta ner den 2 steg till x-axeln istället. Rotationsvolymen förändras ej av förflyttning. Sedan tror jag du har liknande exempel i boken och det blir ganska lätt.
