Rotationsvolym

Det du kallar "radie"  är inte en radie. Det är istället avståndet mellan y = 2e^0,5x och y = 2.

Du räknar som om detta område roterar runt y = 2 istället för runt y = 0, vilket ger dig en felaktig volym. Området ligger alltså längre ifrån rotstionsaxeln än vad du räknar med.

Gör istället så att du först räknar ut volymen av den kropp som uppstår då y = e^0,5x (mellan x = 0 och x = 2) roterar ett varv runt x-axeln.

Subtrahera sedan från detta volymen av den cylinder som uppstårndå y = 2 (mellan x = 0 och x = 2) roterar ett varv runt x-axeln.

=====

Det går även att beräkna denna volym med en enda integral, men då måste du räkna med en "yttre" radie r_y = 2e^0,5x och en "inre" radie r_i = 2. Integranden blir då $\pi {r_y}^2-\pi {r_i}^2$

Det känns dock fortfarande logiskt att radien på det markerade området är det jag skrev. Jag förstår att man kan räkna ut hela volymen för funktionen y=2e^0,5x från x=0 till x=2 och sedan subtrahera volymen för cylindern. 

Jag förstår även när du säger att min beräkning visar på att den roterar kring linjen y=2. Men borde inte jag få samma svar? Varför blir mitt fel?

naturarecheck skrev:

Jag förstår även när du säger att min beräkning visar på att den roterar kring linjen y=2. Men borde inte jag få samma svar? Varför blir mitt fel?

Exempel:

Vi har två ringar som har samma tjocklek och samma bredd, men med olika innerdiameter.

Är du med på att det går åt mer material till ringen med den större innerdiametern?

För att illustrera att en ring med samma tjocklek och bredd fast med större innerdiameter jämfört med en annan ring kräver mer material:

Har du någonsin fått tag på en rockring som lossnat i sin fästpunkt så att den bättre beskrivs som ett rör? Oavsett hur mycket du försöker blir den samma storlek då du sätter i den i fästpunkten, eftersom det skulle krävas mer rockring för att den skulle få en större innerdiameter.