Rotationsvolym

Rotation runt x-axeln blir inte rätt (med x åt höger i bilden). Runt vilken axel är burken rotationssymmetrisk? Sen har du fått formen på funktionen y(x) för utbuktningen, men du saknar koefficienterna a, b och c. Har du funderat på hur du ska kunna lösa ut dem?

hmm nä juste, runt y-axeln isåfall. Har inte tänkt på hur jag ska lösa ut, a,b och c. Hur ska jag börja?

jag tror gränserna är -6 och 6 ?

Hittade några förklaringar på nätet men förstod inte hur man kommer fram till funktionen.. Kan någon vara snäll att förklara, utöver det, är min uträkning  för rotationsvolymen korrekt?

c försvinner eftersom det blir 0?

b försvinner om jag sätter burken i mitten av grafen? och då är ax² kvar och den är positiv. 

hur gör man med a?

Välj att endast volymberäkna den utbuktade delen ovanpå eller under burken. Multiplicera sedan detta med 2 för att få skillnaden i volym på en utbuktad och en icke utbuktad burk.

För att kunna bestämma a, b och c måste du ha ett koordinatsystem som referens.

Rita ett koordinatsystem och rita in burken i det.

Din formel för volym av rotationskropp stämmer, men dina integrationsgränser och din integralberäkming stämmer inte.

Integrationsgränserna kan inte vara från -6 till 6, vilket framgår av den figur du kommer att rita.

Du kan inte integrera med avseende på y och samtidigt använda x som integrationsvariabel som du har gjort. Skriv i så fall först om x i termer av y.

såhär har jag nu gjort, är integrationsgränserna 0 och 7?

blir det isåfall $$\begin{gathered} y= \frac{x²}{36} \\ \sqrt{36y}=x \\ x=6y \end{gathered}$$

Bra med en figur av koordinatsystemet.

Du ska nu endast vokymberäkna den del som buktar ut undertill, dvs från y = 0 till y = 1.

Dubblera sedan detta värde för att få fram den extra volym som burken får av jäsningen (det är ju två sådana utbuktningar).

OliviaH skrev:

blir det isåfall $$\begin{gathered} y= \frac{x²}{36} \\ \sqrt{36y}=x \\ x=6y \end{gathered}$$

Du bör alltid alltid kontrollera dina omskrivningar.

Kvadrera x = 6y.

Kan du då komma tillbaka till sambandet y = x²/36?

okej, 

cylinder= pi*r²*h

r= 6

h=1

113 cm³

Du har beräknat volymen av en cylinder med radie 6 cm och höjd 1 cm.

Det kan vara en bra början på attberäk a volymen av utbuktningen på burkens undersida.

Vet du hur du ska gå idare?

ska jag använda mig av ett klots formel för volymberäkning?

Får då 905 cm³, (4*pi*6³)/3

905*2= 1810 cm³

Eller är radien 1?

Om jag kvadrerar x=6y 

x²= 6y²

x²= 36y²

x²/36=y²??

OliviaH skrev:

ska jag använda mig av ett klots formel för volymberäkning?

Nej, du ska använda en integral för att beräkna volymen av den rotationskropp som utgör den utbuktande undre delen av burken, se bild.

Om jag kvadrerar x=6y 

x²= 6y²

Nej det blir x² = 36y²

x²= 36y²

Ja, just så.

x²/36=y²??

Ja, och då ser du att din ursprungliga omskrivning inte stämmer.

Gör ett nytt försök och tänk på att y = x²/36 betyder att x² = 36•y.

ja, jag märkte att den inte kan stämma men vet inte vad roten ur y blir... ska försöka igen. Men för att beräkna en integral behöver jag få ordning på funktionen först ellerhur? Hur vet man att x²/36 är rätt funktion?

Jag kan se att det är en positiv graf. 

OliviaH skrev:

ja, jag märkte att den inte kan stämma men vet inte vad roten ur y blir... ska försöka igen.

Roten ur y är roten ur y. Du kan låta det stå så tills vidare. Det kommer att visa sig att du egentligen inte behövde göra den omskrivningen.

Men för att beräkna en integral behöver jag få ordning på funktionen först ellerhur? Hur vet man att x²/36 är rätt funktion?

Det finns flera olika sätt att komma fram till funktionsuttrycket. Ett sätt är att utgå från det generella uttrycket för en parabel y = ax²+bx+c och  sedan använda att du känner till de tre punkterna (-6, 1), (0, 0) och (6,-1) på den parabeln.

okej så det jag har är x= 6$\sqrt{y}$ och det blir väl =y³.  Jag kommer ju inte tbx till ekvationen? 

Är integrationsgränserna 0 till 1? Har integrerat nu och fått fram till:

$$\begin{gathered} V=\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left(6\sqrt{\mathrm{y}}\right)² \mathrm{dy}= \\ =\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left(36\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}= \mathrm{\pi }{\left[36\mathrm{y}*\frac{\mathrm{y}²}{2}\right]}_0^1 = \\ \mathrm{\pi }(36*0,5)=56,5 \mathrm{V}.\mathrm{e} \end{gathered}$$

och sedan multiplicera med 2= 113 V.e

Hur blir det -1 på den sista du skrev, ska de inte vara 1 där också? 

Jag förstår att det finns tre punkter, (x,y) men jag vill få det till (0,0), (-6,1), (6,1) Men vet inte hur jag ska få dem för att få fram funktionen.

har gjort såhär nu, är det rätt?

OliviaH skrev:

har gjort såhär nu, är det rätt?

Nästan rätt.

Jag skrev fel tidigare. Punkterna är, precis som du säger, (-6, 1), (0, 0) och (6, 1).

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är y = ax²+bx+c.

Med punkten (0, 0) får vi att 0 = a•0²+b•0+c, dvs att c = 0 (inte c = 1 som du skrev). Det betyder att y = ax²+bx.

Med punkten (6, 1) får vi att 1 = a•6²+b•6, dvs 1 = 36a+6b

Med punkten (-6, 1) får vi att 1 = a•(-6)²+b•(-6), dvs 1 = 36a-6b

Om vi nu adderar dessa två ekvationer får vi att 2 = 72a, dvs att a = 1/36.

Vi sätter in det i t.ex. ekvationen 1 = 36a+6b, vilket ger oss 1 = 36•1/36+6b, dvs 0 = 6b, dvs b = 0.

Vi har nu kommit fram till att a = 1/36, b = 0 och c = 0.

Alltså är andragradfunktionen y = x²/36.

OliviaH skrev:

okej så det jag har är x= 6$\sqrt{y}$ och det blir väl =y³.  Jag kommer ju inte tbx till ekvationen? 

Är integrationsgränserna 0 till 1? Har integrerat nu och fått fram till:

$$\begin{gathered} V=\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left(6\sqrt{\mathrm{y}}\right)² \mathrm{dy}= \\ =\mathrm{\pi }{\int }_0^1\left(36\mathrm{y}\right)\mathrm{dy}= \mathrm{\pi }{\left[36\mathrm{y}*\frac{\mathrm{y}²}{2}\right]}_0^1 = \\ \mathrm{\pi }(36*0,5)=56,5 \mathrm{V}.\mathrm{e} \end{gathered}$$

 

Det stämmer, men avrunda inte. Volymen av ena utbuktningen är 18pi cm³.