Rotationsvolym

Ditt uttryck för skivornas area är fel. Om du roterar området runt y-axel så kommer du att få en cirkel med ett hål i. Om y = 0 är ytterradien e och innerradien 1, om y = 1 är ytterradien = innerradien = 1. Hur kommer uttrycket för skivans area att se ut?

Det du har räknat ut är volymen av den kropp bildas om ett omräde som begränsas av linjerna y = 1, y = ln x, x-axeln och y-axeln får rotera runt y-axeln.

Jo, det spelar roll om ett område snurrar ett varv nära y-axeln eller långt ifrån. Om ett område med arean 1 kvadratcentimeter snurrar ett varv runt y-axen med radien 1 cm blir omkretsen för den stora ringen ungefär 6,28 cm. Man kan visa att volymen för denna torus är 6,28 kubikcentimerer. Om den stora radien istället är 10 cm blir den stora ringens omkrets 62,8 cm och volymen blir 62,8 kubikcentimeter. ("Man kan visa att" betyder integrera i det här fallet - du kan bevisa det själv om du vill!)

smaragdalena skrev :

Ditt uttryck för skivornas area är fel. Om du roterar området runt y-axel så kommer du att få en cirkel med ett hål i. Om y = 0 är ytterradien e och innerradien 1, om y = 1 är ytterradien = innerradien = 1. Hur kommer uttrycket för skivans area att se ut?

Det du har räknat ut är volymen av den kropp bildas om ett omräde som begränsas av linjerna y = 1, y = ln x, x-axeln och y-axeln får rotera runt y-axeln.

Jo, det spelar roll om ett område snurrar ett varv nära y-axeln eller långt ifrån. Om ett område med arean 1 kvadratcentimeter snurrar ett varv runt y-axen med radien 1 cm blir omkretsen för den stora ringen ungefär 6,28 cm. Man kan visa att volymen för denna torus är 6,28 kubikcentimerer. Om den stora radien istället är 10 cm blir den stora ringens omkrets 62,8 cm och volymen blir 62,8 kubikcentimeter. ("Man kan visa att" betyder integrera i det här fallet - du kan bevisa det själv om du vill!)

1 "Ditt uttryck för skivornas area är fel" Menar du detta uttrycket: ${\mathit{A}}_{\mathbf{s}\mathbf{k}\mathbf{i}\mathbf{v}\mathbf{a}}\mathbf{=}{\mathbf{\pi e}}^{\mathbf{2}\mathbf{y}}$?

2 "Om du roterar området runt y-axel så kommer du att få en cirkel med ett hål i" Ja det stämmer bra. 

3 "Om y = 0 är ytterradien e och innerradien 1, om y = 1 är ytterradien = innerradien = 1. Hur kommer uttrycket för skivans area att se ut?" 
Nu förstår jag inte riktigt vad du menar, om $\mathbf{A}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{=}{\mathbf{\pi e}}^{\mathbf{2}\mathbf{·}\mathbf{0}}\mathbf{\Rightarrow }\mathbf{A}\mathbf{\left(}\mathbf{0}\mathbf{\right)}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\mathbf{\pi }$  Då är radien $\mathbf{\pi }$ Ja, om startpunkten är x=1 där radien börjar och så sträcker radien sig till 3,14 alltså $\mathbf{\pi }$ då blir diametern 2$\mathbf{\pi }$ och då har vi kommit för långt ut, vi har fått en för stor cirkel. Är de det som är problemet? 

4 "Det du har räknat ut är volymen av den kropp bildas om ett omräde som begränsas av linjerna y = 1, y = ln x, x-axeln och y-axeln får rotera runt y-axeln."
Kan inte ens föreställa mig hur detta skulle se ut. Om man räknar ut integralen så får man ett värde, hur ser figuren ut egentligen? 

5 "Jo, det spelar roll om ett område snurrar ett varv nära y-axeln eller långt ifrån"
Spelar det roll pågrund av att om figuren är intill Y-axeln så blir figurens volym mindre än om den skulle vara längre ifrån. Omkretsen på cirkeln blir större om den snurrar runt y-axeln från ett avstånd. Det blir en längre bit att snurra.  Titta här. 

Om gradskivan snurrar runt pennan så blir det en munk med en grop i mitten utan något hål med omkretsen, jaa.. vi säger att avståndet från hålet till pennan är 2,5 då är diametern 5cm. när vi har snurrat klart så är figurens diameter 10cm och omkretsen är då $\mathbf{10}\mathbf{\pi }$.

Men, om vi har ett 3cms glapp mellan gradskivan och pennan då diametern att vara 3cm större och figuren efter rotationen kommer därmed ha större omkrets och större volym. När man tänker volym så räknar man bara med figuren och inte hålet i mitten.  Är det därför som det skiljer på hur nära figuren befinner sig y axeln? 

Så här kommer figuren att se ut som man får om man roterar det där området runt y axeln.

Tar man och skär den med ett plan som är parallellt med xz planet så ser skärningen ut så här

Om man istället tar området som ligger närmast y-axeln och roterar runt y-axeln så kommer figuren man får se ut så här

Och om man skulle skära den med ett plan som är parallellt med xz-planet så skulle man bara få en cirkel.

1. Ja. Det uttrycket är fel. Om du vet att varje skiva skall vara en cirkel med ett hål i, så behöver det synas på uttrycket för skivans area.

3. Du verkar finte förstå vad du själv skrev på punkt 2. Varje skiva är en cirkel med ett hål i, du har alltså en ytterradie och en innerradie. Ytterradien är samma hela tiden ( = e), innerradien varierar beroende på vilket värde på y du har. Om y = 0 har hålet radien 1, sedan växer hålet när y ökar. När y = 1 rinns ingenting kvar av ringen, bara ett hål.

4. Du har räknat ut volymen på själva hålet.

5. Om du har en liten cirkel med arean 1 kvadratcentimeter och låter det rotera 10 cm ut från centrum får du en torus som har volymen A*O = A*pi*100 = 314 kubikcentimeter. Om du låter samma cirkel rotera 100 cm ut från centrum får du en torus som har volymen A*O = A*pi*10 000 = 31 400 kubikcentimeter. Man kan bevisa detta genom integration.

smaragdalena skrev :

1. Ja. Det uttrycket är fel. Om du vet att varje skiva skall vara en cirkel med ett hål i, så behöver det synas på uttrycket för skivans area.

3. Du verkar finte förstå vad du själv skrev på punkt 2. Varje skiva är en cirkel med ett hål i, du har alltså en ytterradie och en innerradie. Ytterradien är samma hela tiden ( = e), innerradien varierar beroende på vilket värde på y du har. Om y = 0 har hålet radien 1, sedan växer hålet när y ökar. När y = 1 rinns ingenting kvar av ringen, bara ett hål.

4. Du har räknat ut volymen på själva hålet.

5. Om du har en liten cirkel med arean 1 kvadratcentimeter och låter det rotera 10 cm ut från centrum får du en torus som har volymen A*O = A*pi*100 = 314 kubikcentimeter. Om du låter samma cirkel rotera 100 cm ut från centrum får du en torus som har volymen A*O = A*pi*10 000 = 31 400 kubikcentimeter. Man kan bevisa detta genom integration.

1. Okej, är det svårt att finna ett sådant uttryck? skulle det se ut på följande sätt isåfall: (Integralen som jag skrev upp) - något värde eller så ? 

2 & 3. Ja, jag förstår inte riktigt själva rotations principen. Jag tänker att "Den roterar inte utan man bara gör en tar arean för olika cirklar beroende på hur arean förändras" I detta fall så får man alltid en cirkel utan ett hål i mitten. Jag vet att jag inte får med hålet om jag gör på mitt sätt. Roterar verkligen figuren RUNT y axeln? Hur går det till? vart är logiken i det, hur och vad är det som gör att den roterar alltså principen är skivor, olika radier hela tiden beroende på grafen och sedan går delta y mot 0 Jag begriper inte hur hela saken går till. 


5. Ja, alltså ju längre bort något är från y axeln så blir volymen större. Japp. 

Stokastisk skrev :

Så här kommer figuren att se ut som man får om man roterar det där området runt y axeln.

Tar man och skär den med ett plan som är parallellt med xz planet så ser skärningen ut så här

Om man istället tar området som ligger närmast y-axeln och roterar runt y-axeln så kommer figuren man får se ut så här

Och om man skulle skära den med ett plan som är parallellt med xz-planet så skulle man bara få en cirkel.

bild1: om figuren mellan grafen, x=e och x axeln får rotera runt y axeln så ser figuren ut så? Ja. 
bild3: Ja, det skulle jag nog kunna räkna ut faktist, jag förstår va du vill komma fram till. om man lägger på figur 3 på figur 1 så blir det en cylinder med höjden 1cm man ska alltså dra bort den ena från den andra för att få svaret eller något sådant. Jag förstår inte hur det går till. 

Antingen kan du räkna ut volymen av cylindern du skrev om  - det är ju lätt - och ta den volymen minus volymen av hålet (som du redan har räknat ut), eller också kan man se att arean av varje skiva är (arean av den stora cirkeln - arean av hålet) d v s $\pi e^2 - \pi e^{2y}$ och använda det uttrycket när du integrerar.

smaragdalena skrev :

Antingen kan du räkna ut volymen av cylindern du skrev om  - det är ju lätt - och ta den volymen minus volymen av hålet (som du redan har räknat ut), eller också kan man se att arean av varje skiva är (arean av den stora cirkeln - arean av hålet) d v s $\pi e^2 - \pi e^{2y}$ och använda det uttrycket när du integrerar.

Jag tog upp detta med min matte lärare och nu förstår jag vad felet är. Jag vet inte om du redan har förklarat detta men jag har inte kunnat tolka det isåfall. 

Han sa att $\mathbf{\pi }{\mathbf{\int }}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{1}}{\mathit{e}}^{\mathbf{2}\mathbf{y}}\mathit{d}\mathit{y}\mathbf{ }$ Ger följande områdes volym runt y-axeln.   
Jag förstår varför man får den volymen helt och hållet, inga konstigheter alls. 
Jag trodde att man kunde plocka ut följande figur och sedan bara låta den rotera men det går inte riktigt. 

Utan jag förstår vad det är jag har räknat ut. Man räknar ut cylinderns volym runt y axeln (cylinder = båda figurerna) Sedan tar man minus den första som jag räknade ut. 

Ni har säkert redan förklarat det men jag har inte förstått det när ni förklarar. Det går nog bättre att förklara verbalt för mig. Tack för hjälpen. 

Du kan visst låta den arean rotera kring y-axeln, bara du ser till att den är en bit ut när den roterar! Om du använder skivmetoden får du integralen ${\int }_0^{1}e -e^{2y}dy$.

smaragdalena skrev :

Du kan visst låta den arean rotera kring y-axeln, bara du ser till att den är en bit ut när den roterar! Om du använder skivmetoden får du integralen ${\int }_0^{1}e -e^{2y}dy$.

Ja, just det så sa han också. Det är ju krångligare och jobbigare men jag förstår hur det fungerar. Du tar bort extra streckan sådär. 

Själv tycker jag att det är enklare att få ut volymen i ett steg. Olika människor tänker på olika sätt - och det betyder inte att en av dem tänker fel!

(Jo, för all del, ibland kan det vara så att någon faktiskt tänker fel. Ask me how I know.)

smaragdalena skrev :

Själv tycker jag att det är enklare att få ut volymen i ett steg. Olika människor tänker på olika sätt - och det betyder inte att en av dem tänker fel!

(Jo, för all del, ibland kan det vara så att någon faktiskt tänker fel. Ask me how I know.)

Det handlar mer om att jag inte känner mig så bekväm just när det gäller detta, det är första gången jag ser en sån uppgift. efter några stycken så kommer jag nog köra det sättet som går fortast.