Rotationsvolym

Hej har egentligen en relativt enkel fråga för den kunniga. 
Det kom upp en uppgift där man ska ta fram t till integralen, dvs slutet på området som integralen ska täcka. Exempelvis ${\int }_0^t$
Man får till hjälp veta att volymen ska bli $12\mathrm{\pi }$

Spolar man fram lite i beräkningarna har jag till sist $-\frac{t}{2}+9t-16\hspace{0.17em}=12\mathrm{\pi }$
Här började mitt problem,  men svaret på mitt problem var $\mathrm{\pi }$
vilket skulle strykas. varför? därför man har ju glömt att ett osynligt $\mathrm{\pi }$
finns på vänster sida också. När man gör rotationsvolym ställer man ofta detta utanför integralen. 
Så här typ $\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{t}}\left(\mathrm{x}\right)^2 ·∆\mathrm{y}$

Då är min fråga följande. kan man egentligen tänka sig att pi följer med hela uttrycket i vänster led under hela utvecklingen fram tills man är klar med beräkning då man vanligtvis bara stoppar in pi bakom svaret för att få ett exakt svar? Så pi finns liksom utanför en osynlig parantes av de uttryck man har? Fast då skulle i så fall vid multiplikation alla uttryck inom parantes få pi om man gör det innan man räknat helt klart, vilket väl ger ett annat svar? . I detta fall plockar man ju fram det osynliga pi i vänsterled för att stryka pi i högerled?   vart befinner sig egentligen pi under beräkning?