Rotationskroppens max volym ?
Ett område i xy-planet begränsas av x-axeln, linjen x = 1 och kurvan y = √(ax - a²). där a är en konstant sådan att 0 < a < 1. Låt området rotera kring x-axeln och bestäm a så att rotationskroppens volym blir maximal.
Hej, jag har nu suttit med denna uppgift ett bra tag och vet inte hur jag ska gå vidare. Så här långt har jag kommit:
Min fråga är hur man hittar rotationskroppens maximala volym? Hur ska jag börja?
Hej.
Fråga 1: Har du ritat en skiss som visar hur det område som roterar runt x-axeln ser ut?
- Om ja, visa den.
- Om nej, rita en sådan och visa den.
Fråga 2: Har du, med hjälp av skissen, tagit fram ett uttryck för vilka dimensioner en skiva av rotationskroppen har (radie, area, tjocklek, volym)?
- Om ja: Visa det.
- Om nej: Gör det och visa det.
jag ser nu att när x=1 blir rotationskroppens volym max. Hur fortsätter jag nu?
jag vet inte vad a är för att kunna beräkna volymen genom integraler
Beräkna volymen som en bestämd integral (du ser ut att ha börjat rätt men något verkar fel vid evalueringen av integralen). Då får du sedan volymen som en funktion av den okända konstanten a. Använd sedan derivering av den funktionen för att hitta det a som ger maximal volym.
Nunube Wonka skrev:
Snygg skiss!
jag ser nu att när x=1 blir rotationskroppens volym max. Hur fortsätter jag nu?
Nej, när x = 1 så har vi endast en oändligt tunn skiva som saknar utsträckning i x-led och därmed volym.
jag vet inte vad a är för att kunna beräkna volymen genom integraler
Din första uppställning var rätt, men det har smugit sig in ett fel vid förenklingen, se markering:
Har försökt testa mig fram till svaret, men det känns som som jag går runt i cirklar. Försökte klura ut frågan genom rotation i y-led istället, men den blev också komplicerat. Hur tar jag tillväga?
Nej integrera i x-led så som du började.
Korrigera uträkningen enligt mitt förra svar.
Du kommer att få volymen som beror på a, alltså V(a).
Du ska nu hitta det värde på a som ger den största volymen.
Det blir alltså att maximera V(a), lämpligen genom derivata o.s.v.
Nu har jag löst uppgiften och den var så mycket enklare än vad jag först trodde :)
tack för hjälpen
dock så hittade jag inte felet du menade här
Jag läste fel. Du hade skrivit rätt.
