Rotationskropparnas volymer ska vara lika stora
Hej!
Nu har jag fastnat på en riktigt klurig, i mina ögon, uppgift. Det är fråga 17 i bilden nedan.
Jag tänkte förklara hur jag har tänkt hittills, men förmodligen är det helt galet eftersom jag inte ens är nära att få fram ett svar. Jag kallar koordinaterna i punkten P för (a,b). För att räkna ut volymen av rotationskroppen A så tar jag pi * integralen av y upphöjt till 2, alltså x (x^0,5)^2 = x^1=x mellan 0 och a (eftersom a är x-koordinaten i P). Volymen Va blir då (pi*a^2)/2.
Men sedan tror jag att jag gör något fel när jag ska räkna ut Vb, men jag tänker såhär: här ska jag ta pi * integralen av x^2 och eftersom x^0,5=y så borde x^2 vara y^4. Integrationsgränserna bör vara 0 och b (y-koordinaten i punkten P), men om jag bara rakt av skulle ta den integralen så tänker jag att jag får volymen av den kropp som bildas om området A roterar kring y-axeln, och det är ju B-området jag är ute efter. Därför tänker jag att jag bör vila räkna ut hela områdets volym (A+B) och sedan dra bort A. För att räkna ut hela områdets volym så är ju integrationsgränserna fortfarande 0 och b, men x är alltid lika med a. x^2 är då a^2.
Så Vb får jag till pi * integralen av (a^2-y^4) mellan 0 och b. Den primitiva funktionen får jag till y*a^2 - y^5/5 och multiplicerat med pi får jag Vb till pi*b*a^2 - (pi*b^5)/5.
Misstänker att jag gjort fel för längesen, för när jag sätter Va = Vb lyckas jag inte få ut varken a eller b...
Okej, jag tror jag insett att jag krånglade till uträkningen av Vb lite väl mycket. Visst ska det bara vara pi* integralen av y^4 mellan 0 och b. Alltså blir Vb (pi*b^5)/5.
(pi*b^5)/5 = (pi*a^2)/2
dividerar bort pi och får b^5/5 = a^2/2 men jag lyckas ändå inte få ut några vettiga värden för a och b...
Epersson88 skrev :Okej, jag tror jag insett att jag krånglade till uträkningen av Vb lite väl mycket. Visst ska det bara vara pi* integralen av y^4 mellan 0 och b. Alltså blir Vb (pi*b^5)/5.
(pi*b^5)/5 = (pi*a^2)/2
dividerar bort pi och får b^5/5 = a^2/2 men jag lyckas ändå inte få ut några vettiga värden för a och b...
Jag har inte kollat dina integraler.
Om din ekvation: Det finns ett enkelt samband nellan a och b, vilket gör att du kan eliminera antingen a eller b i din ekvation.
Okej, men jag ser inte det sambandet... Det enda jag tänker är pythagoras sats, alltså a^2 + b^2 = hypotenusan^2, men eftersom jag inte vet hypotenusans längd ser jag inte hur jag ska använda det...
Epersson88 skrev :Okej, men jag ser inte det sambandet... Det enda jag tänker är pythagoras sats, alltså a^2 + b^2 = hypotenusan^2, men eftersom jag inte vet hypotenusans längd ser jag inte hur jag ska använda det...
Dina integraler är rätt.
Sambandet mellan a och b är mycket enklare än så, du har det rakt framför ögonen.
Om du ändå inte kommer på det så läs här nedan:
...
...
...
...
...
...
===== SPOILER =====
Punkten (a, b) ligger på grafen som anges i uppgiften. Alla punkter på den grafen uppfyller ett visst samband. Vilket?
===================
Tack snälla! Jag förstår att du tyckte att jag skulle listat ut det själv, men det verkar som att hjärnan gjorde allt för att göra uppgiften svårare än vad den är. Tack igen!
Epersson88 skrev :Tack snälla! Jag förstår att du tyckte att jag skulle listat ut det själv, men det verkar som att hjärnan gjorde allt för att göra uppgiften svårare än vad den är. Tack igen!
Ja den där hjärnan alltså, ibland så krånglar den bara till det i onödan. 😀
