Rotationskroppar

Hej!

Jag försöker förstå mig på hur rotationskroppar fungerar men har väldigt svårt för att ens börja med uppgifter då jag inte förstår dom och jag har även svårt för att visualisera hur det skulle kunna vara.

Här är några uppgifter jag fastnat på då jag helt och hållet inte förstår hur det är man ska tänka.

Uppgift 1:

Bestäm volymen då området roteras runt x-axeln.
(a) 0 < x < 2         0 < y < x^2
(b) 0 < x < 1         0 < y < x^2 + x
(c) 0 < x < π/4     sin(x) -1 < y < 0

Uppgift 2:

Bestäm volymen då området roteras runt y-axeln.
(a) 1 < x < e         0 < y < 1/x^2
(b) 0 < x < a         0 < y < cos(x^2)
(c) 0 < x < 2         x^2 < y < 4
(d) 1 < x < 3         0 < y < 1/(x^2+3)

Uppgift 3:

Ett område definierat av 0 < x < 1 och x^2 < y < x roteras runt den i
uppgiften givna axeln. Bestäm volymen.
(a) y = 0
(b) x = 0
(c) x = −2
(d) y = 2

------------------------------------

För uppgift 1-3 så finns det två specifika formler som jag tror jag skall använda. Formlerna är från min bok. Nämligen:

Volym vid rotation av kropp runt x-axeln: $V=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)^2 \mathrm{dx}$

Volym vid rotation av kropp runt y-axeln: $V=2\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{dx}$

Jag verkar ha svårigheter med att förstå dessa två formler.
Låt mig göra ett försök med att förklara hur jag tolkar formlerna.
Låt oss börja med rotation runt x-axeln formeln.

På bilden har jag försökt rita en kropp som skall roteras runt x-axeln. På bilden har jag även ritat ut en cylindrisk "skiva" i rött. Den cirkulära ytans (se A) area kan ju uttryckas som arean för en cirkel, d.v.s. $\mathrm{\pi r}^2$ där radien i detta fall varierar. Radien bör kunna uttryckas som f(x). Höjden (se B) till skivan kan vi ju säga är $△x$eller $dx$när vi går i gräns. Om vi tänker att vi har ett oändligt antal skivor med area πf(x)^2 och höjd dx så kan vi ju summera ihop volymen av varje skiva för att få den totala volymen då kroppen roterat runt x-axeln.

Därav blir ju formeln som ovan nämnt: $V=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)^2 \mathrm{dx}$.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Låt oss nu fortsätta med rotation runt y-axeln formeln.

På bilden har jag försökt rita en kropp som skall roteras runt y-axeln. På bilden har jag även ritat ut en cylindrisk "skiva" i mörkblått. Den cirkulära ytans (se A) area kan ju uttryckas som arean för en cirkel, d.v.s. πr^2 där radien i detta fall varierar. Radien bör kunna uttryckas som x i detta fall. Höjden (se B) till skivan kan vi ju säga är △y eller dy när vi går i gräns. Om vi tänker att vi har ett oändligt antal skivor med area πx^2 och höjd dy så kan vi ju summera ihop volymen av varje skiva för att få den totala volymen då kroppen roterat runt y-axeln.

Då får vi ju en snarlik formel som vi hade när vi roterade runt x-axeln: $V=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)^2 dy$. 
Vad som måste göras nu är ju att uttrycka x i y så att integranden "stämmer överens" med differentialen. Detta gör vi ju genom att lösa ut x ur vår f(x). Som vi ser så har jag genom min logik fått en formel annorlunda från min boks formel, så jag undrar vad det är jag gjort fel och hur är det jag egentligen ska tänka?
Bokens formel: $V=2\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{dx}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Trots formlerna samt en del teori bakom dom så förstår jag inte hur jag ska använda dom i uppgifterna. Antingen är det själva uppgifterna jag har svårt för att tolka, antingen är det teorin bakom metoden jag ej förstår eller som mest sannolikt en kombination av de två. Jag behöver hjälp med att måla klart hela bilden.

EXTRA:

Jag har även problem med att visualisera/förstå denna uppgift samt hur jag skall gå tillväga:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Försök av lösning av uppgifter:

Uppgift 1 a) och b):

Dessa två klarar jag av.
a) y = x^2, (0,2)

$V=\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)^2 \mathrm{dx} = \mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\mathrm{x}^4 \mathrm{dx} = \mathrm{\pi }[\mathrm{x}^5/5] = \left(32\mathrm{\pi }\right)/5$

b) samma sak men med y = x^2 + x

c) Förstår jag inte vad y = ???

d) I stort sett samma sak som a) och b) med y= $\sqrt{x}e^x$som man integrerar från 0 till 1/2 m.h.a P.I.

Uppgift 2 Vet ej hur man skall gå tillväga på någon av dom.

Uppgift 3: Förstår ej informationen som ges, vad är y?

Uppgift 4 (extra): Jag har mkt svårt att visualisera det hela och såldes vet jag inte riktigt vad för metod jag ska använda.