Rotationskropp kring x-axeln

Standardfråga 1a: Har du ritat?

Dessutom tycker jag det ser ut att bli enklare om man inte skriver om funktionen innan man integrerar, men jag har inte räknat på det.

le chat skrev:

Jag har kommit så långt men sedan vet jag inte riktigt hur jag ska gå vidare. Om det sedan finns en enklare metod får ni jättegärna skriva ner:)

Tack på förhand!

Har du skissat grafen?

Dina integrationsgränser är fel.

Den undre gränsen ska vara 0 och den övre $\frac{3\pi }{4}$

Jaha, jag tog integrationsgränserna för den andra vågtoppen, jag uppfattade det som att en del av integralen inte räknas med om jag börjar på 0

Hej!

Vad kan cos2x också skrivas som?

Jaha, jag tog integrationsgränserna för den andra vågtoppen.

Är det inte bättre att beräkna det som står i uppgiften?

Porkshop skrev:

Hej!

Vad kan cos2x också skrivas som?

  $$\begin{gathered} \cos \left(2x\right)=1-2{\sin }^{2}x \\ \cos \left(2x\right) ={\cos }^2 x-{\sin }^{2}x \\ \cos \left(2x\right) =2{\cos }^2 x-1 \end{gathered}$$

Din integral kan du skriva om som

$\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\sin \left(2\mathrm{x}\right)+\frac{1-\cos \left(2\mathrm{x}\right)}{2}$

= $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\sin \left(2\mathrm{x}\right) + \frac{1}{2}-\frac{\cos \left(2\mathrm{x}\right)}{2}$

och sedan integrera uttrycket, kan du reglerna?

Vet inte heller varför jag skrev om cos2x

Jag får min integral till att bli:

$\mathrm{\pi }{\int }_o^{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(2x)+1)dx$

Rätta mig gärna om jag har fel, jag är lite rostig med integraler. Det var ett tag sedan.

le chat skrev:

Jaha, jag tog integrationsgränserna för den andra vågtoppen, jag uppfattade det som att en del av integralen inte räknas med om jag börjar på 0

 Ta det lugnt och metodiskt. Börja med att titta på din bild. Vilket omräde är det som skall roteras? Det stod i uppgiften att området begränsas av de positiva koordinataxlarna och funktionen $f(x)=\cos(x)+\sin(x)$. Markera området och lägg in bilden här, så vi kan se att det har blivit rätt, innan du går vidare med uppgiften.

Vad är nu integrationsgränserna?

Porkshop skrev:

Vad är nu integrationsgränserna?

 $Integrationsgränserna är nu 0 och \frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

Porkshop skrev:

Din integral kan du skriva om som

$\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\sin \left(2\mathrm{x}\right)+\frac{1-\cos \left(2\mathrm{x}\right)}{2}$

= $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\sin \left(2\mathrm{x}\right) + \frac{1}{2}-\frac{\cos \left(2\mathrm{x}\right)}{2}$

och sedan integrera uttrycket, kan du reglerna?

Vet inte heller varför jag skrev om cos2x

Jag får min integral till att bli:

$\mathrm{\pi }{\int }_o^{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}\left(\sin \right(2x)+1)dx$

Rätta mig gärna om jag har fel, jag är lite rostig med integraler. Det var ett tag sedan.

 Hur integrerar man ${\cos }^{2}x$?

Då får du ekvationen:

$\mathrm{\pi }{\int }_0^{\frac{3\mathrm{\pi }}{4}}(\mathrm{cosx}+\mathrm{sinx}{)}^2\mathrm{dx}$

Du behöver inte integrera ${\cos }^{2}x$

Vad är ${\cos }^{2}x + {\sin }^{2}x$ ?