rotationskropp beräkning

emeliesandgrenn skrev :

Ett fågelbad tillverkas av betong. Fågelbadet har formen av den rotationskopp som bildas när området som begränsas av linjerna x= -0,5 ; y=2,8 och kurvan y=ln(20x+1) får rotera kring x-axeln.

Bestäm volymen av den betong som fågelbadet består av. Svara med minst tre värdesiffror?


Någon som vet hur man ska gå tillväga ??  Vet inte ens vart jag ska börja

Börja med att göra en grov skiss av området som ska rotera runt x-axeln för att förstå geometrin som beskrivs.

I skissen ska du kunna se vilka linjer, kurvor och punkter som är intressanta för problemet.

Här hittar du också vilka integrationsgränser du ska använda.

Fundera sedan på vilken metod du vill använda för att beräkna volymen, skivmetoden eller skalmetoden?

När du har gjort det så är det dags att ta fram ett uttryck för volymbidragen (de tunna skivorna eller de cylindriska skalen) och sedan integrera dessa från den undre integrationsgränsen till den övre.

Kan man skriva om ln(20x+1) till $e^{20x+1}$ för att kunna hitta primitiv funktion?

SigTer skrev:

Kan man skriva om ln(20x+1) till $e^{20x+1}$ för att kunna hitta primitiv funktion?

 Nej.

Har du börjat med att rita, som Yngve tipsade om?

Vilka integrationsgränser har du fått fram?

Tänker du använda skivmetoden eller skalmetoden?

Ja jag har ritat. Har inte problem med att förstå volymen som kroppen bildar, men hur man hittar primitiv funktion. När jag skrev in funktionen på räknaren med fnInt så gick det inte nämligen.
Hade uppgiften på ett prov idag så är mest nyfiken om jag gjorde rätt.

Integrationsgränserna blir -0,5 och 0,6 (fanns även angivet i uppgiften på provet).

Googlar nu på partiell integrering osv för att lösa integraler med ln(x). Det tillhör väl inte matte 4?

SigTer skrev:

Ja jag har ritat. Har inte problem med att förstå volymen som kroppen bildar, men hur man hittar primitiv funktion. När jag skrev in funktionen på räknaren med fnInt så gick det inte nämligen.
Hade uppgiften på ett prov idag så är mest nyfiken om jag gjorde rätt.

Integrationsgränserna blir -0,5 och 0,6 (fanns även angivet i uppgiften på provet).

 Den primitiva funktionen beror på hur integranden ser ut, vilket i sin tur beror på om du väljer skivmetoden eller skalmetoden.

Om du visar hur du har gjort så kan vi hjälpa dig att kontrollera om du har tänkt rätt eller inte.

Beräknar enligt:

$\mathrm{\pi }{\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$. 

Där funktionen och integrationsgränserna är angiven i uppgiften.

Tänker du använda skivmetoden eller skalmetoden?

Uppgiftens formulering antyder att man måste integrera numeriskt.

SigTer skrev:

Ja jag har ritat. Har inte problem med att förstå volymen som kroppen bildar, men hur man hittar primitiv funktion. När jag skrev in funktionen på räknaren med fnInt så gick det inte nämligen.
Hade uppgiften på ett prov idag så är mest nyfiken om jag gjorde rätt.

Integrationsgränserna blir -0,5 och 0,6 (fanns även angivet i uppgiften på provet).

De gränserna stämmer inte.

Kurvan $y=ln(20x+1)$ skär linjen $y=2,8$ vid $x=\frac{e^{2,8}-1}{20}\approx 0,77$.

Är du säker på att det är samma uppgift?

SigTer skrev:

Beräknar enligt:

$\mathrm{\pi }{\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx$. 

Där funktionen och integrationsgränserna är angiven i uppgiften.

Detta tyder på att du använder skivmetoden.

Men då stämmer inte integralen.

Har du verkligen ritat?

Rotationskroppen ser ut som en urgröpt cirkulär cylinder med x-axeln som centrum, en radie som är $2,8$ och en höjd som är $\frac{e^{2,8}-1}{20}+0,5$.

Urgröpningen sträcker sig från $x=\frac{e^{2,8}-1}{20}$ ner till $x=0$.

Om du har $a=0$ och $b=\frac{e^{2,8}-1}{20}$ så blir värdet av din integral lika med volymen av denna urgröpning, inte betongvolymen.

Men betongvolymen är då lika med cylindervolym minus urgröpningsvolym.