Rotationskropp, A fråga

Hej.

Har du ritat en skiss över koordinatsystemet med grafen till y = 2, y = 6-x² där det tydligt framgår hur området som roterar ser ut i de båda fallen?

• Om ja, visa dessa skisser.
• Om nej, rita och visa.

Yngve skrev:

Hej.

Har du ritat en skiss över koordinatsystemet med grafen till y = 2, y = 6-x² där det tydligt framgår hur området som roterar ser ut i de båda fallen?

• Om ja, visa dessa skisser.
• Om nej, rita och visa.

Jag vet inte hur man ritar 3D av såna...men jag kan försöka

Du behöver inte rita 3D, det går utmärkt att rita 2D. Ladda gärna upp Desmos-bilden om du har gjort en sådan.

Yngve skrev:

Du behöver inte rita 3D, det går utmärkt att rita 2D. Ladda gärna upp Desmos-bilden om du har gjort en sådan.

gjorde det nu. Den här problemet är ganska interessant fanns jag börjar bli lite mättad bara.

OK bra.

Din beräkning på A-uppgiften är nästan rätt.

Som du ser i bilden så kan rotationskroppen delas in i ett stort antal horisontella skivor med radie $r$, area $\pi r^2$ och tjocklek dy.

Eftersom $r=x$ och vi har att $y=6-x^2$ så får vi $x=\sqrt{6-y}$, dvs $r=\sqrt{6-y}$

Skivorna ligger från $y=2$ till $y=6$, vilket ger oss att volymen blir $V_A=\int_{2}^{6}\pi(\sqrt{6-y})^2\operatorname dy=$

$=\pi((6\cdot6-\frac{6^2}{2})-(6\cdot2-\frac{2^2}{2}))=$

$=\pi(18-10)=8\pi$

Yngve skrev:

OK bra.

Din beräkning på A-uppgiften är nästan rätt.

Som du ser i bilden så kan rotationskroppen delas in i ett stort antal horisontella skivor med radie $r$, area $\pi r^2$ och tjocklek dy.

Eftersom $r=x$ och vi har att $y=6-x^2$ så får vi $r=\sqrt{6-y}$

Skivorna ligger från $y=2$ till $y=6$, vilket ger oss att volymen blir $V_A=\int_{2}^{6}\pi(\sqrt{6-y})^2\operatorname dy=$

$=\pi((6\cdot6-\frac{6^2}{2})-(6\cdot2-\frac{2^2}{2})=$

$=\pi(18-10)=8\pi$

R

men varför från 2? Jag trodde man skulle rotera med respekt till y-axeln, dvs från y-axeln? Vad du gör just nu är att du tar den där övre volymen? Är det vad uppgiften säger i A), för då forstod jag inte.. 

Oj vänta! Jag såg precis att de sa begränsades.. haha!

Området som roterar är detsamma i båda fallen, det begränsas av linjen y = 2 och parabeln y = 6-x².

Se bild:

Yngve skrev:

Området som roterar är detsamma i båda fallen, det begränsas av linjen y = 2 och parabeln y = 6-x².

Se bild:

ok. Första har vi löst, men B) då?

shkan skrev:

Oj vänta! Jag såg precis att de sa begränsades.. haha!

Ja. Jätteviktigt alltså att läsa uppgiftslydelsen noggrant, rita en skiss och kontrollera att det verkar stämma innan man börjar räkna.

shkan skrev:

ok. Första har vi löst, men B) då?

För fallet B ör rotationsaxeln horisontell.

Då kan du antingen använda skalmetoden och återigen integrera I y-led eller så kan du skapa vertikala skivor enligt bild och istället integrera I x-led.

I så fall är varje skivas area $\pi r^2$, där $r=y-2$. Integrationsgränserna blir då från $x=-2$ till $x=2$

Yngve skrev:

shkan skrev:

ok. Första har vi löst, men B) då?

För fallet B ör ritationsaxeln horisontell.

Då kan du antingen använda skalmetoden och återigen integrera I y-led eller så kan du skapa vertikala skivor enligt bild och istället integrera I x-led.

I så fall är varje skivas area $\pi r^2$, där $r=y-2$. Integrationsgränserna blir då från $x=-2$ till $x=2$

Jag har löst uppgiften nu. Jag tog min tredje integral som jag skrev i min original post och löste för den. Jag fick rätt svar efter jag tog kvoten. Tack så mycket. Det var bara första lösningen som förstörde lösningen totalt.

Bra.

Du kan förenkla beräkningen i B-delen genom att bara integrera från x = 0 till x = 2.

Pga symmetri så får du då fram exakt halva volymen.