Rotationskropp

Hej.

Det verkar som att du vrider runt y-axeln, men du ska vrida runt linjen y = -1.

Kroppen får formen av en "ring" runt y = -1, där både inre och yttre radien varierar med x (från x = 1 till x = 2).

Så här ser kurvorna ut

Förflytta allt +1 steg i y-led

Aha okej, jag förstår att man ska betrakta det som ett cylindriskt skal, men ska jag dela upp den övre ”ringen” i två integraler? För att det är två olika funktioner

Hur varierar både radierna med x, ifall den övre delen av ringen utgörs av två olika linjer? Jag vet inte hur jag ska uttrycka min fråga

jalsho skrev:

Aha okej, jag förstår att man ska betrakta det som ett cylindriskt skal, men ska jag dela upp den övre ”ringen” i två integraler? För att det är två olika funktioner

Så kan du göra.

Dela då upp området i två delar: 1 < x < 2 (där yttre radien ges av y = x+1) och 2 < x < 4 (där yttre radien ges av y = 3.

Detta förutsatt att du utnyttjar knepet med parallellförskjutning som Trinity2 föreslog.

Jag gjorde så, men facit säger att svaret är 4,5π vilket motsvarar integralen från 1 till 2. Det räknas väll inte som hela området? 

Nej, den delen är ungefär lika med 1,4$\pi$ v.e.

Kan du visa din uträkning?

Det är denna uträkning, men man summerar i y-led i stället för i x-led vilket ger 4,5π v.e. Och integralen fast med avseende på x förstår jag inte hur den skulle se ut

Förlåt, jag har missuppfattat dig hela vägen. Alla mina svar hittills har handlat om skivmetoden.

Men både du och facit är inne på skalmetoden, vilken passar utmärkt i det här fallet. Då behöver du inte heller dela in området I två delar.

Då stämmer det även att om y går från 1 till 2 så motsvarar det hela volymen.

Nej det är lugnt, jag uttryckte mig klumpigt för visste själv inte ifall man skulle integrera i y- eller i x-led.

Jag förstår mig på skalmetoden i detta fall, men inte skivmetoden

OK bra. Vill du hjälp att förstå hur man skulle kunna använda skivmetoden i detta fallet?

Ja gärna, tack.

Man tänker väll fortfarande att det är en ihålig cylinder?

Jag skullr inte kalla det en cylinder, men hursomhelst så ändras inte formen på själva rotationskroppen av att man använder en annan metod för att beräkna dess volym.

Vi utgår från den verikalförflyttade skissen som Trinity2 visade i svar #3

Jag förutsätter här att du är bekant med skivmetoden. Hojta till om så inte är fallet.

Tre saker komplicerar situationen:

1. Rotationsaxeln utgörs inte av en koordinataxel.
2. Kroppen är inte massiv, det finns ett hål i mitten.
3. Den yttre radiens beroende av x är inte detsamma över hela intervallet

===

Tänk dig nu cirkulära skivor som staplas på varandra i x-led, med x-axeln som centrum..

Varje skiva har ett hål i sig, så skivans area blir $\pi {r_y}^2-\pi {r_i}^2=\pi({r_y}^2-{r_i}^2)$, där $r_y$ är ringens yttre diameter och $r_i$ är hålets diameter.

I intervallet $1\leq x < 2$ så gäller att $r_y=x+1$ och $r_i=\sqrt{x}+1$

I intervallet $2\leq x\leq4$ så gäller att $r_y=3$ och $r_i=\sqrt{x}+1$

Volymen kan därför beräknas som summan av två integraler:

$V=\pi\int_{1}^{2}((x+1)^2-(\sqrt{x}+1)^2)\operatorname dx+$

$+\pi\int_{2}^{4}(3^2-(\sqrt{x}+1)^2)\operatorname dx$

Hängde du med?

Det blev verkligen glasklart för mig nu, tack. Din förklaring är riktigt bra.

Jag tror att eftersom detta med rotationsvolymer är relativt nytt för mig har jag således svårt att visualisera själva grafens rotation kring axlarna.