ROtationsformeln. Areaberäkning

Hej. Det var lite svårt att följa dina uträkningar.

Jag skulle nog göra så här:

1. Rita en figur för att övertyga mig om att f(x)=sin(x)+2cos(x) inte är negativ någonstans i intervallet 0 till pi/2.

2. Förenkla $(f(x))^2=sin^2(x)+4sin(x)cos(x)+4cos^2(x)$ ett par gånger med hjälp av formler för dubbla vinkeln och kanske trigonometriska ettan för att bli av med kvadratuttrycken.

3. Integrera det förenklade uttrycket $\pi(f(x))^2$ från 0 till pi/2.

Hej igen.

Nu ser jag att det var precis så du har gjort (förutom figuren och trigettan).

Då är det nog bara något slarvfel i integralberäkningarna.

Jag hinner inte kontrollräkna nu men någon annan kanske hinner?

Använd att

$$\begin{gathered} \left(\sin \right(x)\hspace{0.17em}+ 2\cos (x){)}^2={\sin }^2(x)+2\sin (2x)+4{\cos }^2(x)=1 + 2\sin (2x)+3{\cos }^2(x) \\ =1+2\sin (2x)+3\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}=\frac{1}{2}\left(5+4\sin \left(2x\right)+\cos \left(2x\right)\right) \end{gathered}$$

Notera nu att om du integrerar $\cos(2x)$ över det där intervallet så kommer det bli noll, på grund av symmetrin $\cos$ besitter. Så du behöver bara beräkna integralen

$\mathrm{\pi }{\int }_0^{\mathrm{\pi }/2}\left(\frac{5}{2}+2\sin \left(2x\right)\right)dx$