Rotationsarea

Du har nog deriverat fel.

$-\frac{(1-x^{{\displaystyle \frac{2}{3}}}{)}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}{x^{{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$  får jag derivatan till

Sen undrar jag hur du kan få en negativ rot, vad är (-1)^(2/3) ??

Oj, ja där har det blivit fel... Men har jag tänkt rätt annars? Får man ut den egentliga rotationsarean för kurvan genom att utnyttja formeln?

EDIT: Det blir inte rätt när jag räknar på det med formeln för rotationsarean, då jag får en icke-reell lösning...

-sun61

sun61 skrev :

Oj, ja där har det blivit fel... Men har jag tänkt rätt annars? Får man ut den egentliga rotationsarean för kurvan genom att utnyttja formeln?

EDIT: Det blir inte rätt när jag räknar på det med formeln för rotationsarean, då jag får en icke-reell lösning...

-sun61

Jo det är rätt formel.

Visa hur du har räknat, så blir det lättare att hitta felet.

Tips: När du satt in derivatans kvadrat under rottecknet så går det att förenkla!

$A=2\pi {\int }_a^{b}f\left(x\right)\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^2}dx=2\pi {\int }_{-1}^1{\left(1-x^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\sqrt{1+{\left(\frac{\sqrt{1-x^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^2}dx$

Vilket kan förenklas till 
$2\pi {\int }_{-1}^1{\left(1-x^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\sqrt{1-\frac{1-x^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}}{x^3}}dx$

Efter detta blir allt bara rörigt och jag tror att jag gör flera snedsteg... Finns det någon formel/formler som man kan utnyttja för att förenkla uttrycket ytterligare? Svaret ska ju ploppa ut i pi-format, så ska man utnyttja trigonometriska identiteter eller liknande?

sun61 skrev :

$A=2\pi {\int }_a^{b}f\left(x\right)\sqrt{1+f\text{'}{\left(x\right)}^2}dx=2\pi {\int }_{-1}^1{\left(1-x^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\sqrt{1+{\left(\frac{\sqrt{1-x^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}}}{\sqrt[3]{x}}\right)}^2}dx$

Vilket kan förenklas till 
$2\pi {\int }_{-1}^1{\left(1-x^{\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}\right)}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\sqrt{1-\frac{1-x^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}}}{x^3}}dx$

Efter detta blir allt bara rörigt och jag tror att jag gör flera snedsteg... Finns det någon formel/formler som man kan utnyttja för att förenkla uttrycket ytterligare? Svaret ska ju ploppa ut i pi-format, så ska man utnyttja trigonometriska identiteter eller liknande?

 

du gör fel när du kvadrerar derivatans nämnare. x^(1/3)^2  = x^(2/3)

Det jag vet är att kurvan är en astroid och ska (enligt https://en.wikipedia.org/wiki/Astroid) ha rotationsarean $\frac{12}{5}\pi a^2$ där a är ett godtyckligt tal när kurvan roterar kring x-axeln.

Det går precis lika bra att integrera från 0-1 och multiplicera resultatet med 2.

Men du måste ändå kvadrera derivatan rätt...