Rotationsarea

$y = \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2}, 0 \leq x \leq 3$

räkna ut arean då kurvan y roterar ett varv kring x = 3

$y' (x) = x - 3 (y' {(x))}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

$d s = \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2} d x} = \sqrt{1 + {(x - 3)}^{2}} d x = \sqrt{x^{2} - 6 x + 10} d x$

$A = 2 π \int_{0}^{3} xds = 2 π \int_{0}^{3} x \sqrt{x^{2} - 6 x + 10} dx$

Har testat att göra partiell integration samt variabel byte $t = x^{2} - 6 x + 10$ , men slutar ändå alltid med att jag får något som jag inte kan fortsätta att integrera.. Någon som kan hjälpa mig?

Är formeln för arean rätt när du inte roterar kring x = 0, eller behöver den modifieras?

Jag roterar ju kring x = 3, och vad jag vet behöver den inte modifieras. Min tanke gång är att jag tar ds multiplicerat med omkretsen och då får ut rotationsarean.

Jag tror vad Dr. G syftar på är hur du beräknar omkretsen av ett cirkulärt snitt. Eftersom cirklarna har sin mittpunkt i x=3, kommer inte x-koordinaten på kurvan motsvara cirkelns radie.

Men ytan som bildas är väl lika stor som om du hade kurvan $y = \frac{x^2}{2}$ på intervallet $0\leq x \leq 3$ och roterade kring y-axeln. Att räkna på den här förflyttade kurvan istället blir lite mer straight-forward.

Ah då är jag med! Just det, vad dum jag är, radien blir väl 3-x. Och det tror jag verkligen, smart! tack :)

Svara

Visa senaste svar