Rotations volym

Du har gjort många liknande uppgifter. Börja med att visualisera hur kroppen ser ut. Det är kanske inte jättelätt att rita den men hur ser ett tvärsnitt ut av kroppen?

Jag har gjort flera uppgifter som handlar om rotationsvolym. Men jag har inte gjort en likadan fråga som denna.

Så blir min skiss. radien bli väl sin(x) + 1 -sin(x)? 

Ser ut som en kropp som har ett tomrum i sig eller hur? Hur ser ett tvärsnitt ut?

Ja . Visst ska det vara volymen av en cylinder minus volymen av någon volym som jag inte kommer på just nu

Hur menar du att en cylinder ska användas? Rita tvärsnittet.

Jag vet inte hur jag ska rita här. 

Du bör öva på att se hur kroppen blir. Tänk att du tar en stråltråd (eller ta en riktig) och rotera den runt en axel. Det blir ungefär som en rugbyboll med platta ändar, eller hur?

Tvärsnittet blir som en platt munk.

Du kan inte utgå från en cylinder här eftersom den yttre radien inte är konstant som den var i din andra uppgift (den med en "tratt" i form.av y = ln(x)).

Den yttre radien är ju 1 vid x = 0 och växer sedan till 2 vid x = pi/2. Sedan minskar den yttre radien ner till 1 igen vid x = pi.

Den inre radien är 0 vid x = 0, växer till 1 vid x = pi/2 och minskar sedan till 0 igen vid x = pi.

=======

Men du kan fortfarande använda metoden med V = V₁ - V₂.

Låt då V₁ vara lika med volymen som uppstår då y= 1+sin(x) roterar ett varv runt x-axeln och V₂ vara lika med volymen som uppstår då y = sin(x) roterar ett varv runt x-axeln.

Yngve skrev:

Du kan inte utgå från en cylinder här eftersom den yttre radien inte är konstant som den var i din andra uppgift (den med en "tratt" i form.av y = ln(x)).

Den yttre radien är ju 1 vid x = 0 och växer sedan till 2 vid x = pi/2. Sedan minskar den yttre radien ner till 1 igen vid x = pi.

Den inre radien är 0 vid x = 0, växer till 1 vid x = pi/2 och minskar sedan till 0 igen vid x = pi.

=======

Men du kan fortfarande använda metoden med V = V₁ - V₂.

Låt då V₁ vara lika med volymen som uppstår då y= 1+sin(x) roterar ett varv runt x-axeln och V₂ vara lika med volymen som uppstår då y = sin(x) roterar ett varv runt x-axeln.

Jag förstår inte varför det är fel att i den uppgiften utgå från att det är en cylinder.. Kan du visa mha en bild?

Är det rätt?

Katarina149 skrev:

Jag förstår inte varför det är fel att i den uppgiften utgå från att det är en cylinder.. Kan du visa mha en bild?

En cylinder har raka kanter, så här:

Men rotationskroppen iuppgiftwn har välvda kanter, så här:

Katarina149 skrev:

Är det rätt?

Nej, jag ser ett par fel:

1. Du glömmer dx i första integralen och varför ändrar du övre integrationsgränsen?

2. Du glömmer dx i integralen och utvecklingen av kvadraten är inte rätt:

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

Jag förstår inte varför det är fel att i den uppgiften utgå från att det är en cylinder.. Kan du visa mha en bild?

En cylinder har raka kanter, så här:

Men rotationskroppen iuppgiftwn har välvda kanter, så här:

Jag förstår inte hur du får rotationsvolymen till att bli en cylinder . Hur ska jag kunna rita ”figurerna” som bildas?

Men jag skriver ju att det inte är en cylinder (se svar #9 och svar #12).

=======

Rotationskroppen har en yttre form som påminner om rugbybollen i din andra tråd. Den yttre formen bestäms av y = 1+sin(x), x = 0 och x = pi.

Det finns ett tomrum inuti rugbybollen. Tomrummet form bestäms av y = 1+sin(x), x = 0 och x = pi.

Du menar att ”figuren” som bildas ser ut som den här 

Hur ska man kunna veta hur figuren som bildas ser ut? 

Steg 1 

Steg 2:

Steg 3:

Steg 4:

Jaha okej. Men varför ska man ta V1-V2?

Du måste inte det, men det är ett enkelt sätt att hantera att det finns ett tomrum inne i rotationskroppen som du ska räkna bort från volymen.

Så blev min uträkning.är det rätt?

jag undrar också varför man ska ta v1-v2=V?

Katarina149 skrev:

Så blev min uträkning.är det det steg för rätt?

Nej den är inte rätt.

Ta det i små små steg. Ett steg i taget och skriv ner alla steg på vägen.

Den första integralen är $V_2=\pi\cdot\int_{0}^{\pi}f(x)\operatorname dx$, där $f(x)=\sin^2(x)$.

Börja med att skriva om integranden $f(x)=\sin^2(x)$ till $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}$ med hjälp av formeln för dubbla vinkeln.

Ta sedan fram en primitiv funktion $F(x)$ till $f(x)$.

Kontrollera att den primitiva funktionen stämmer genom att kontrollera att $F'(x)=f(x)$.

När du har gjort det kan du beräkna integralens värde till $V_2=\pi\cdot (F(\pi)-F(0))$

======================

Sedan tar du nästa integral, dvs $V_1=\pi\cdot\int_{0}^{\pi}g(x)\operatorname dx$, där $g(x)=(1+\sin(x))^2=1+2\sin(x)+sin^2(x)$.

Börja med att skriva om integranden $g(x)=1+\sin(x)+\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}$ med hjälp av formeln för dubbla vinkeln.

Ta sedan fram en primitiv funktion $G(x)$ till $g(x)$.

Kontrollera att den primitiva funktionen stämmer genom att kontrollera att $G'(x)=g(x)$.

När du har gjort det kan du beräkna integralens värde till $V_1=\pi\cdot (G(\pi)-G(0))$

Rotationskroppens volym är sedan $V=V_1-V_2$.

==============

Följ nu ovanstående instruktion steg för steg och visa dina uträkningar i ordning, inte huller om buller som du visat tidigare.

Kom ihåg att ta små små steg och glöm inte dx i integralerna!

jag undrar också varför man ska ta v1-v2=V?

Om rotationskroppen inte hade ett tomrum (hål) inuti sig så skulle dess volym vara $V_1$.

Volymen av tomrummet (hålet) är $V_2$

Alltså är rotationskroppens volym $V=V_1-V_2$.

Det här är precis samma sätt att tänka som hockeypucken med tratt, bara det att vi inte utgår från en cylinder denna gång..

Menar du inte V=pi * (G(pi)-G(0) ? För du skriver att V1= pi* G(pi)*G(0)

Katarina149 skrev:

Menar du inte V=pi * (G(pi)-G(0) ? För du skriver att V1= pi* G(pi)*G(0)

Var?

Jag förstår inte vad du menar. Är det fel?

Du skrev att i raden under är V= V1-V2 men sen räknar du med att pi * (G(pi)-G(0))=V1 

Hur går det till.  Ska det inte vara V=V1-V2 

Men du skrev att det ska vara V1=…

Är det rätt?

Nej det är inte rätt.

Varför envisas du med att inte följa mina tips?

Jag gör ju exakt som du skriver . Vad är det som jag gör annorlunda jämfört med dina tips? Är hela uträkningen fel eller det en specifik fel grej som jag gör?

Nej det gör du inte.

Jag skrev så här:

Ta sedan fram en primitiv funktion G(x) till g(x).

Kontrollera att den primitiva funktionen stämmer genom att kontrollera att G'(x)=g(x).

Visa var du kontrollerar att din primitiva funktion G(x) är korrekt.

==============

Jag skrev så här:

Kom ihåg att ta små små steg och glöm inte dx i integralerna!

Visa var du skriver dx i integralerna.

Jag får hjärnsläpp nu. Fattar inte ens vad jag gör 

visst glömmer jag att kvadrera sin²(x) ?

Yngve skrev:

Katarina149 skrev:

Så blev min uträkning.är det det steg för rätt?

Nej den är inte rätt.

Ta det i små små steg. Ett steg i taget och skriv ner alla steg på vägen.

Den första integralen är $V_2=\pi\cdot\int_{0}^{\pi}f(x)\operatorname dx$, där $f(x)=\sin^2(x)$.

Börja med att skriva om integranden $f(x)=\sin^2(x)$ till $f(x)=\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}$ med hjälp av formeln för dubbla vinkeln.

Ta sedan fram en primitiv funktion $F(x)$ till $f(x)$.

Kontrollera att den primitiva funktionen stämmer genom att kontrollera att $F'(x)=f(x)$.

När du har gjort det kan du beräkna integralens värde till $V_2=\pi\cdot (F(\pi)-F(0))$

======================

Sedan tar du nästa integral, dvs $V_1=\pi\cdot\int_{0}^{\pi}g(x)\operatorname dx$, där $g(x)=(1+\sin(x))^2=1+2\sin(x)+sin^2(x)$.

Börja med att skriva om integranden $g(x)=1+\sin(x)+\frac{1}{2}-\frac{\cos(2x)}{2}$ med hjälp av formeln för dubbla vinkeln.

Ta sedan fram en primitiv funktion $G(x)$ till $g(x)$.

Kontrollera att den primitiva funktionen stämmer genom att kontrollera att $G'(x)=g(x)$.

När du har gjort det kan du beräkna integralens värde till $V_1=\pi\cdot (G(\pi)-G(0))$

Rotationskroppens volym är sedan $V=V_1-V_2$.

==============

Följ nu ovanstående instruktion steg för steg och visa dina uträkningar i ordning, inte huller om buller som du visat tidigare.

Kom ihåg att ta små små steg och glöm inte dx i integralerna!

jag undrar också varför man ska ta v1-v2=V?

Om rotationskroppen inte hade ett tomrum (hål) inuti sig så skulle dess volym vara $V_1$.

Volymen av tomrummet (hålet) är $V_2$

Alltså är rotationskroppens volym $V=V_1-V_2$.

Det här är precis samma sätt att tänka som hockeypucken med tratt, bara det att vi inte utgår från en cylinder denna gång..

Det jag har svårt med är att ta reda på den primitiva funktionen. Skulle du i min ”uträkning” kunna markera   ”Felen” jag gör. Så att jag kan ta en extra titt på de. Dvs som du gjorde innan. 

Nej, du behöver fortsätta att träna på att hitta dina egna fel.

Du har fortfarande inte visat hur du kontrollerar att ditt G(x) är en primitiv funktion till g(x).

Här visar jag hur jag gör för att ta fram primitiva funktionen och hur jag deriverar tbx primitiva funktionen för att dubbelkolla att den är rätt 

Som du själv skriver, det där är f(x), inte g(x).

Det jag vill att du visar är detta:

Och du glömmer återigen dx i integralen.

Jag har gjort som du skrev 

Du tar alldeles för stora steg.

Visa i små små steg hur du deriverar G(x).

vad menar du med för stora steg

$$\begin{gathered} G\left(x\right)=x-2\cos \left(x\right)+\frac{\sin \left(2x\right)}{4}+\frac{1}{2}x \\ deriverar : \\ G\text{'}\left(x\right)=1+ 2\sin \left(x\right) + \frac{\cos \left(2x\right)*2}{4}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+ \frac{\cos \left(2x\right)}{2}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+\frac{1-{\sin }^2\left(x\right)}{2}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+\frac{1}{2}-\frac{{\sin }^2\left(x\right)}{2}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)-\frac{{\sin }^2\left(x\right)}{2} \end{gathered}$$

Det borde alltså stå G(x)=x-2cos(x)+(2sin(2x))/4 +x/2 för när jag väl kommer derivera uttrycket G(x) då kommer sin²(x)/2 att istället bli sin²(x)

Det stämmer att G(x) inte var rätt.

Jag är övertygad om att orsaken till att du inte upptäckte det första gången du kontrollerade var att du då tog för stora tankesteg när du deriverade G(x).

Du visste vad du ville komma fram till och skrev mer eller mindre bara det, utan att faktiskt räkna dig fram dit.

Det är ett förklarligt och jättevanligt fel och det är smärtsamt att vänja sig av med det beteendet, att istället kavla upp ärmarna och faktiskt kontrollräkna utan att ha målet i bakhuvudet.

=======

Men tyvärr är din kontrollräkning fortfarande inte rätt. På rad 4 har du ersatt cos(2x) med 1-sin²(x) men det ska vara 1-2sin²(x).

$$\begin{gathered} G\left(x\right)=x-2\cos \left(x\right)+\frac{\sin \left(2x\right)}{4}+\frac{1}{2}x \\ deriverar : \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+\frac{\cos \left(2x\right)*2}{4}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+\frac{\cos \left(2x\right)}{2}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+ \frac{1-2{\sin }^2\left(x\right)}{2}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+ \frac{1}{2}-\frac{2{\sin }^2\left(x\right)}{2}+\frac{1}{2} \\ G\text{'}\left(x\right)=1+2\sin \left(x\right)+{\sin }^2\left(x\right) \\ Nu blir det rätt \end{gathered}$$

Eller vänta det är inte rätt jag borde väl dela 2cos(x)/2

Du tar fortfarande för stora räknesteg i huvudet.

Kan du i detalj visa hur du räknar när de sista tre termerna blir till sin²(x)?

.

Jag är övertygad om att du skriver att det blir sin²(x) för att du vet att det borde bli det, dvs för att du vill att det ska bli det.

Okej. 
vi utgår ifrån att g(x)=(3/2)+ 2sin(x)-cos(2x)/2 

då blir G(x)= (3x/2) - 2*cos(x) - sin(2x)*2/2 

G(x)= (3x/2) -2*cos(x) -sin(2x) 

G’(x) = 3/2 +2sin(x)- cos(2x)*2 = 3/2 + 2sin(x)-2cos(2x) 

… Det blir inte rätt heller

Nej det stämmer att det inte är rätt.

Och då ska du dubbelkolla ditt förslag på primitiv funktion.

Ta en term i taget. Vi börjar med termen 3/2.

Vad borde en primitiv funktion till 3/2 vara?

3x/2, eller hur?

Då kollar vi det. Derivatan av 3x/2 är 3/2, så den stämmer.

Gör nu på samma sätt med de andra två termerna.

Skriv dina tankegångar på exakt samma sätt som jag nyss gjorde.

Okej. 

Derivatan av av 3x/2 är 3/2 

derivatan av -2cos(x) är 2sin(x) 

derivatan av -sin(2x) är -cos(2x)*2

OK och vad blir då din slutsats?

Istället för -sin(2x) så borde det väl stå -sin(2x)/4 

för om jag deriverar -sin(2x)/4 då får jag -cos(2x)*2/4 vilket ger mig -cos(2x)/2 vilket stämmer överens med min g(x)

Ja! Det stämmer!

Ser du nu hur viktigt det är att vara noggrann, inte gå för snabbt fram, inte ta för stora tankesteg, skriva ner och kontrollera sina delresultat?

Nu stänger jag för i kväll.

Ja nu förstår jag. Vi fortsätter imorgon! 
God natt! :)

Yes. God natt.

Här kan du se när jag dubbelkollar min primitiva funktion att den stämmer. Jag får svaret ca 22.5v.e 

Nu ser dina uträkningar rätt ut.

Jag får svaret $\pi(4+\pi)$ v.e, dvs ungefär 22,4 v.e.