Rotation med i (Matematik/Matte 4/Komplexa tal)

Vad är $(-i)^{10}$ ?

Det måste vara samma som $(- i)^{2}$ eftersom en ''i-varv'' är 4 rotationer... så -1!

Men hur vet jag att det är just -1 som jag måste upphöja med 10? Vad om -i är den sjunde lösning till exempel?

Du vet att en lösning till ekvationen är -i, så om du stoppar in -i i VL vet du vad HL måste vara.

Du kan räkna upp lösningarna till en ekvation i vilken ordning du vill, så det spelar ingen roll.

Förstår inte!

Jag kan stoppa $z^{n} = - i$ . Hur hjälper det?

Du vet ju att $z^{10} = w$ och att x = -i är en lösning. Om du hade vetat vad w har för värde, skulle du ha vetat hur du skulle lösa uppgiften, eller hur? Problemet är att du inte vet vad w är.

Om du hade vetat vad w är, skulle du kunna testa en lösning genom att kolla om HL = VL, eller hur? Nu gör du likadant fast tvärt om - räknar ut vad HL måste vara, för att X = -i skall vara en rot.

Ok, så den enda rott som passar så att resultat blir -i är $z^{n} (\cos 270 + i \sin 270)$ . Och om rotation är 90 grader då är det $z^{3}$ som gäller?

Om du skall skapa en potensekvation som har 10 rötter, varav en är x = -i, så måste ekvationen vara $z^{10} = -i$ . Denna ekvations rötter ligger på "enhetscirkeln" i det komplexa talplanet, med en vinkel på 36 grader mellan varje rot.

EDIT: Fel, se nedan

Jag förstår inte vad du menar med det du skriver.

Jag trodde att eftersom det står i faciten att $z^{10} = - 1$ , då kunde det bara vara $z^{n å g o t a n n a t t a l m i n d r e ä n 10} = - i$ .

Jag trodde, i andra oförstoeliga ord, att $z^{10}$ var bara min sista lösning och att jag måste identifiera vilket föregående lösning var lika med -i.

Jag skrev fel i mitt förra inlägg, det skall vara $z^{10} = (-i)^{10} = -1$ . Så ditt facit och jag är överens, när jag inte skriver fel.

Jag är fortfarande inte med att -i skulle vara den första lösning som man kan upphöja till 10... Vad om -i var den femte lösning?

Det blir precis samma sak. -i är en av de 10 lösningarna.

Daja, är du med på att z^10 = -1 har en lösning z = -i?

Annars kan du lösa z^10 = -1 = e^(i*pi) på vanligt sätt, d.v.s

|z| = 1^(1/10) = 1

arg(z) = (pi + n*2pi)/10

Tydligen är det t.ex n = 7 som ger z = -i som lösning.

Om du vill kan du kalla det lösning nr 7,men det beror helt på var man börjar räkna. Lösningen "nummer" är inte relevant.

Det måste vara magin av rotationen...Nej jag var inte med riktigt men jag ska börja tänka så. Så länge vi har en lösning kan vi använda det som ''slut resultat''?

Jag har inte hunnit till Eulers ekvationen än.

Det är väl inte särskilt konstigt att bli alldeles snurrig av rotationer?!

Jo haha lite som du säger! Typ, men den här grejen med att det spelar inga roll i vilket ordning vi ta lösningarna... Jag tänker såhär: om vi sätter $z^{10} = - i$ , vi kommer visst till något lösning på Nord, Väst, Syd eller Öst på enhetcirkeln. Men hur vet vi att vi har anlandat på rätt koordinat om vi roterade 10 gånger istället för 3/7 eller 8 (7 säger Dr. G)

Det spelar ingen roll i vilken ordning man räknar upp rötterna (det är bara bekvämt om de råkar stå i samma ordning som i facit).

Bifogar en bild över de 10 lösningarna till z^10 = -1 i det komplexa talplanet.

Dr. G skrev :
Bifogar en bild över de 10 lösningarna till z^10 = -1 i det komplexa talplanet.

Trots att bilden är matematiskt snygg, jag önskar att jag inte hade sett den :D! Nu kommer jag aldrig att förstå varför det spelar inga roll om vi är givet en godtycklig lösning. n=0 och n=7 är ju helt olika.

Dessutom, om jag räknar från noll grader, -i är den åttonde lösning!

Och z^10=-i ger den exakt samma fin maskros än z^10=-1!...... Det ligger nåt mystiskt här....

Du kommer att förstå när du har kommit till Eulers formel. Det jag har svårt att förstå är att de gav dig den här uppgiften innan du hunnit till Eulers ekvation.

EDIT: Läste inte ordentligt. Nedanstående är ju inte en potensekvation

Om jag skulle lösa denna uppgift så skulle jag nog göra det lätt för mig och bara svara $(z + i)^{10} = 0$

Det ligger faktiskt innan Eulers formeln i boken. Men vi har inte hunnit dit än, jag myspluggar matte :) (jo, jag borde nog musplygga kemi istället, jag ligget så långt bakåt)

Daja skrev :
Det ligger faktiskt innan Eulers formeln i boken. Men vi har inte hunnit dit än, jag myspluggar matte :) (jo, jag borde nog musplygga kemi istället, jag ligget så långt bakåt)

(viskar så inte Smaragdalena ska höra)

"men Matte är ju mycket r-o-l-i-g-a-r-e än Kemi"

(Jag har plussat din inlägg anonymt...)

Ann O. Nym skrev :
(Jag har plussat din inlägg anonymt...)

(avidentifierar bekännelsen) ^^

Daja skrev :
Ekvationen har 10 rötter, och vektorn roterar varje gång med 90 grader om en rot är -i. Men hur vet jag om det är z^10 = 1 eller -1, i eller -i?

Hej!

Eftersom $z = -i$ ska vara sådant att $z^{10} = w$ så måste $w$ vara lika med $(-i)^{10} = (-i)^{2} = i^2 = -1.$ Den sökta potensekvationen är därför

$z^{10} = -1.$

Det är allt!

Albiki

Yngve skrev :
Ann O. Nym skrev :
(Jag har plussat din inlägg anonymt...)
(avidentifierar bekännelsen) ^^

Ann och Yngve har räddat båten ;)

Albiki skrev :
Daja skrev :
Ekvationen har 10 rötter, och vektorn roterar varje gång med 90 grader om en rot är -i. Men hur vet jag om det är z^10 = 1 eller -1, i eller -i?
Hej!
Eftersom $z = -i$ ska vara sådant att $z^{10} = w$ så måste $w$ vara lika med $(-i)^{10} = (-i)^{2} = i^2 = -1.$ Den sökta potensekvationen är därför
$z^{10} = -1.$
Det är allt!
Albiki

Tack Albiki, det är väldigt smidigt.

Så länge det känns inte naturligt ska jag göra en post-it av det...